Geometria solida

No confundir con la película del mismo nombre .

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Hiperboloide de una hoja

En matemáticas , geometría sólida es el nombre tradicional de la geometría del espacio euclidiano tridimensional ^[1] (es decir, geometría 3D ).

La estereometría se ocupa de la medición de volúmenes de varias figuras sólidas (o figuras 3D ), incluidas pirámides , prismas y otros poliedros ; cilindros ; conos ; conos truncados ; y bolas delimitadas por esferas . ^[2]

Historia

Los pitagóricos se ocuparon de los sólidos regulares , pero la pirámide, el prisma, el cono y el cilindro no se estudiaron hasta los platónicos . Eudoxo estableció su medida, probando que la pirámide y el cono tienen un tercio del volumen de un prisma y un cilindro en la misma base y de la misma altura. Probablemente también fue el descubridor de una prueba de que el volumen encerrado por una esfera es proporcional al cubo de su radio . ^[3]

Temas

Los temas básicos en geometría sólida y estereometría incluyen:

• incidencia de planos y líneas
• ángulo diedro y ángulo sólido
• el cubo , cuboide , paralelepípedo
• el tetraedro y otras pirámides
• prismas
• octaedro , dodecaedro , icosaedro
• conos y cilindros
• la esfera
• otros cuadrículas : esferoide , elipsoide , paraboloide e hiperboloide .

Los temas avanzados incluyen:

• geometría proyectiva de tres dimensiones (que conduce a una demostración del teorema de Desargues mediante el uso de una dimensión adicional)
• más poliedros
• geometría descriptiva .

Figuras sólidas

Para obtener una lista y una organización más completas, consulte Lista de formas matemáticas .

Mientras que una esfera es la superficie de una bola , a veces es ambiguo si el término se refiere a la superficie de la figura o al volumen encerrado en ella, en particular para un cilindro . La siguiente tabla incluye los principales tipos de formas que constituyen o definen un volumen.

Figura	Definiciones	Imagenes
Paralelepípedo	Un poliedro con seis caras ( hexaedro ), cada una de las cuales es un paralelogramo. Un hexaedro con tres pares de caras paralelas. Un prisma cuya base es un paralelogramo.
Romboedro	Un paralelepípedo donde todos los bordes tienen la misma longitud. Un cubo , excepto que sus caras no son cuadrados sino rombos.
Cuboides	Un poliedro convexo delimitado por seis caras cuadriláteras , cuya gráfica poliédrica es la misma que la de un cubo [4] Algunas fuentes también requieren que cada una de las caras sea un rectángulo (por lo que cada par de caras adyacentes se encuentra en ángulo recto ). Este tipo más restrictivo de cuboide también se conoce como un paralelepípedo rectangular , en forma de paralelepípedo derecho , caja rectangular , rectangular hexaedro , prisma rectangular derecha , o rectangular de paralelepípedo . [5]
Poliedro	Caras poligonales planas , bordes rectos y esquinas o vértices afilados	Pequeño dodecaedro estrellado Poliedro toroidal
Poliedro uniforme	Polígonos regulares como caras y es vértice-transitivo (es decir, hay una isometría que asigna cualquier vértice a cualquier otro)	Tetraedro Dodecaedro chato
Prisma	Un poliedro que comprende un n -sided poligonal de base , una segunda base que es un traducido copia (rígidamente trasladado sin rotación) de la primera, y n otras caras (necesariamente todos los paralelogramos ) que une los lados correspondientes de las dos bases
Cono	Se estrecha suavemente desde una base plana (con frecuencia, aunque no necesariamente, circular) hasta un punto llamado vértice o vértice.	Un cono circular recto y un cono circular oblicuo
Cilindro	Lados paralelos rectos y sección transversal circular u ovalada	Un cilindro elíptico sólido Un cilindro circular recto y oblicuo
Elipsoide	Una superficie que puede obtenerse de una esfera deformándola mediante escalas direccionales , o más generalmente, de una transformación afín.	Ejemplos de elipsoides con esfera de ecuación (arriba, a = b = c = 4), esferoide (abajo a la izquierda, a = b = 5, c = 3), elipsoide triaxial (abajo a la derecha, a = 4.5, b = 6, c = 3)${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1:}$
Limón	Una lente (o menos de la mitad de un arco circular) girada alrededor de un eje que pasa por los extremos de la lente (o arco) [6]
Hiperboloide	Una superficie que se genera al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes principales.

Técnicas

Se utilizan diversas técnicas y herramientas en geometría sólida. Entre ellos, la geometría analítica y las técnicas vectoriales tienen un gran impacto al permitir el uso sistemático de ecuaciones lineales y álgebra matricial , que son importantes para dimensiones superiores.

Aplicaciones

Una aplicación importante de la geometría sólida y la estereometría son los gráficos por computadora en 3D .

Ver también

• Regiones de bolas
• Geometría euclidiana
• Dimensión
• Punto
• Planimetría
• Forma
• Listas de formas
• Superficie
• Área de superficie
• Arquímedes

Notas

1. The Britannica Guide to Geometry , Britannica Educational Publishing, 2010, págs. 67–68.
2. Kiselev, 2008 .
3. Parafraseado y tomado en parte de la Encyclopædia Britannica de 1911 .
4. Robertson, Stewart Alexander (1984). Politopos y simetría . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 75 . ISBN 9780521277396.
5. Dupuis, Nathan Fellowes (1893). Elementos de geometría sólida sintética . Macmillan. pag. 53 . Consultado el 1 de diciembre de 2018 .
6. Weisstein, Eric W. "Limón" . Wolfram MathWorld . Consultado el 4 de noviembre de 2019 .

Referencias

• Kiselev, AP (2008). Geometría . Libro II. Estereometría. Traducido por Givental, Alexander. Sumizdat.