Espacio funcional

Función
x ↦ f  ( x )
Ejemplos de dominios y codominios
${\displaystyle X}$ → , → , →${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → , →${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → , → , →${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ → , → , →${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$
Clases / propiedades
Constante Identidad Lineal Polinomio Racional Algebraico Analítico Suave Continuo Mensurable Inyectable Sobreyectiva Biyectiva
Construcciones
Restricción Composición λ Inverso
Generalizaciones
Parcial Multivalor Implícito
v t mi

En matemáticas , un espacio funcional es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y / o codominio tendrá una estructura adicional que es heredada por el espacio funcional. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X en un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la suma puntual y la multiplicación escalar. En otros escenarios, el espacio de funciones puede heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre espacio de funciones .

En álgebra lineal

Ver también: Espacio vectorial § Espacios funcionales

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Noviembre de 2017 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Suma de funciones: La suma del seno y la función exponencial es con${\displaystyle \sin +\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle (\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)}$

Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sea X cualquier conjunto. A las funciones X → V se les puede dar la estructura de un espacio vectorial sobre F donde las operaciones se definen puntualmente, es decir, para cualquier f , g  : X → V , cualquier x en X y cualquier c en F , defina

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(c\cdot f)(x)&=c\cdot f(x)\end{aligned}}}$$

Cuando el dominio X tiene una estructura adicional, se podría considerar en cambio el subconjunto (o subespacio ) de todas esas funciones que respetan esa estructura. Por ejemplo, si X también es un espacio vectorial sobre F , el conjunto de mapas lineales X → V forma un espacio vectorial sobre F con operaciones puntuales (a menudo denotadas como Hom ( X , V )). Uno de esos espacios es el espacio dual de V : el conjunto de funcionales lineales V → F con suma y multiplicación escalar definidas puntualmente.

Ejemplos de

Los espacios funcionales aparecen en varias áreas de las matemáticas:

• En la teoría de conjuntos , el conjunto de funciones de X a Y puede denotarse X → Y o Y ^X .
  • Como caso especial, el conjunto potencia de un conjunto X puede ser identificado con el conjunto de todas las funciones de X a {0, 1}, denotado 2 ^X .
• El conjunto de biyecciones de X a Y se denota . La notación factorial X ! puede ser utilizado para permutaciones de un solo conjunto X .${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$
• En el análisis funcional, se observa lo mismo para las transformaciones lineales continuas , incluidas las topologías en los espacios vectoriales de arriba, y muchos de los ejemplos principales son espacios funcionales que llevan una topología ; los ejemplos más conocidos incluyen los espacios de Hilbert y los espacios de Banach .
• En el análisis funcional, el conjunto de todas las funciones, desde los números naturales hasta algún conjunto X, se denomina espacio de secuencia . Consiste en el conjunto de todas las posibles secuencias de elementos de X .
• En topología , se puede intentar poner una topología en el espacio de funciones continuas desde un espacio topológico X a otro Y , con utilidad dependiendo de la naturaleza de los espacios. Un ejemplo comúnmente utilizado es la topología compacta-abierta , por ejemplo, espacio de bucle . También está disponible la topología del producto en el espacio de conjunto de funciones teóricas (funciones es decir, no necesariamente continuas) Y ^X . En este contexto, esta topología también se denomina topología de convergencia puntual .
• En topología algebraica , el estudio de la teoría de la homotopía es esencialmente el de invariantes discretos de espacios funcionales;
• En la teoría de los procesos estocásticos , el problema técnico básico es cómo construir una medida de probabilidad en un espacio funcional de caminos del proceso (funciones del tiempo);
• En la teoría de categorías, el espacio funcional se denomina objeto exponencial o objeto de mapa . Aparece de una manera como la representación canónica bifunctor ; pero como (único) funtor, de tipo [ X , -], aparece como un funtor adjunto a un funtor de tipo (- × X ) en objetos;
• En programación funcional y cálculo lambda , los tipos de función se utilizan para expresar la idea de funciones de orden superior .
• En la teoría de dominios , la idea básica es encontrar construcciones a partir de órdenes parciales que puedan modelar el cálculo lambda, creando una categoría cerrada cartesiana de buen comportamiento .
• En la teoría de la representación de grupos finitos , dadas dos representaciones de dimensión finita V y W de un grupo G , se puede formar una representación de G sobre el espacio vectorial de mapas lineales Hom ( V , W ) denominada representación de Hom . ^[1]

Análisis funcional

El análisis funcional se organiza en torno a técnicas adecuadas para poner los espacios funcionales como espacios vectoriales topológicos al alcance de las ideas que se aplicarían a los espacios normativos de dimensión finita. Aquí usamos la línea real como dominio de ejemplo, pero los espacios a continuación existen en subconjuntos abiertos adecuados${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

• ${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$ funciones continuas dotadas de la topología de norma uniforme
• ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} )}$funciones continuas con soporte compacto
• ${\displaystyle B(\mathbb {R} )}$ funciones limitadas
• ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ funciones continuas que se desvanecen en el infinito
• ${\displaystyle C^{r}(\mathbb {R} )}$funciones continuas que tienen primeras r derivadas continuas.
• ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ funciones suaves
• ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} )}$ funciones suaves con soporte compacto
• ${\displaystyle C^{\omega }(\mathbb {R} )}$ funciones analíticas reales
• ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$, pues , es el espacio L p de funciones medibles cuya p -norm es finita${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$${\textstyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\mathbb {R} }|f|^{p}\right)^{1/p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$, el espacio de Schwartz de funciones suaves que disminuyen rápidamente y sus distribuciones continuas duales y templadas${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$
• ${\displaystyle D(\mathbb {R} )}$ soporte compacto en topología límite
• ${\displaystyle W^{k,p}}$ Espacio de Sobolev de funciones cuyas derivadas débiles hasta el orden k están en${\displaystyle L^{p}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$ funciones holomorfas
• funciones lineales
• funciones lineales por partes
• funciones continuas, topología abierta compacta
• todas las funciones, espacio de convergencia puntual
• Espacio resistente
• Espacio Hölder
• Funciones de Càdlàg , también conocido como el espacio Skorokhod
• ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(\mathbb {R} )}$, el espacio de todas las funciones de Lipschitz en que se desvanecen en cero.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Norma

Si y es un elemento del espacio funcional de todas las funciones continuas que se definen en un intervalo cerrado [ a , b ] , la norma definida en es el valor absoluto máximo de y ( x ) para a ≤ x ≤ b , ^[2]${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$ ${\displaystyle \|y\|_{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(a,b)}$

$${\displaystyle \|y\|_{\infty }\equiv \max _{a\leq x\leq b}|y(x)|\qquad {\text{where}}\ \ y\in {\mathcal {C}}(a,b)}$$

se llama norma uniforme o norma suprema ('norma supra').

Bibliografía

• Kolmogorov, AN y Fomin, SV (1967). Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. Publicaciones de Courier Dover.
• Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Análisis funcional: introducción a otros temas de análisis. Prensa de la Universidad de Princeton.

Ver también

• Lista de funciones matemáticas
• Álgebra de Clifford
• Campo tensor
• Teoría espectral
• Determinante funcional

Notas al pie

1. Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso . Springer Science & Business Media. pag. 4. ISBN 9780387974958.
2. Gelfand, IM ; Fomin, SV (2000). Silverman, Richard A. (ed.). Cálculo de variaciones (Repr. Ed. Íntegra). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 6. ISBN 978-0486414485.