Método espectral
Los métodos espectrales son una clase de técnicas utilizadas en matemáticas aplicadas y computación científica para resolver numéricamente ciertas ecuaciones diferenciales , lo que potencialmente implica el uso de la transformada rápida de Fourier . La idea es escribir la solución de la ecuación diferencial como una suma de ciertas " funciones básicas " (por ejemplo, como una serie de Fourier que es una suma de sinusoides ) y luego elegir los coeficientes en la suma para satisfacer el diferencial ecuación lo mejor posible.
Los métodos espectrales y los métodos de elementos finitos están estrechamente relacionados y se basan en las mismas ideas; la principal diferencia entre ellos es que los métodos espectrales usan funciones de base que son distintas de cero en todo el dominio, mientras que los métodos de elementos finitos usan funciones de base que son distintas de cero solo en subdominios pequeños. En otras palabras, los métodos espectrales adoptan un enfoque global, mientras que los métodos de elementos finitos utilizan un enfoque local . En parte por esta razón, los métodos espectrales tienen excelentes propiedades de error, siendo la llamada "convergencia exponencial" la más rápida posible, cuando la solución es fluida . Sin embargo, no se conocen resultados de captura de choque espectral de dominio único tridimensional (las ondas de choque no son suaves).[1] En la comunidad de elementos finitos, un método en el que el grado de los elementos es muy alto o aumenta a medida que el parámetro de cuadrícula h disminuye a cero a veces se denomina método de elementos espectrales .
Los métodos espectrales se pueden utilizar para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones diferenciales parciales (PDE) y problemas de valores propios que involucran ecuaciones diferenciales. Cuando se aplican métodos espectrales a PDE dependientes del tiempo, la solución normalmente se escribe como una suma de funciones base con coeficientes dependientes del tiempo; al sustituir esto en el PDE se obtiene un sistema de EDO en los coeficientes que se pueden resolver utilizando cualquier método numérico para EDO . Los problemas de valores propios de las EDO se convierten de manera similar en problemas de valores propios de la matriz [ cita requerida ] .
Los métodos espectrales fueron desarrollados en una larga serie de artículos por Steven Orszag a partir de 1969, incluidos, entre otros, métodos de series de Fourier para problemas de geometría periódica, métodos espectrales polinomiales para problemas de geometría finitos e ilimitados, métodos pseudoespectrales para problemas altamente no lineales y espectrales. métodos de iteración para la solución rápida de problemas de estado estacionario. La implementación del método espectral normalmente se logra con la colocación o con un enfoque de Galerkin o Tau .
Los métodos espectrales son computacionalmente menos costosos que los métodos de elementos finitos, pero se vuelven menos precisos para problemas con geometrías complejas y coeficientes discontinuos. Este aumento del error es consecuencia del fenómeno de Gibbs .
Aquí asumimos una comprensión del cálculo multivariante básico y las series de Fourier . Si es una función conocida de valor complejo de dos variables reales, yg es periódica en xey (es decir, ) entonces estamos interesados en encontrar una función f (x, y) de modo que
