En geometría , un conjunto de líneas se llama equiangular si todas las líneas se cruzan en un solo punto y cada par de líneas forma el mismo ángulo.
Líneas equiangulares en el espacio euclidiano
Calcular el número máximo de líneas equiangulares en el espacio euclidiano n- dimensional es un problema difícil y, en general, no está resuelto, aunque se conocen los límites. El número máximo de líneas equiangulares en el espacio euclidiano bidimensional es 3: podemos tomar las líneas a través de vértices opuestos de un hexágono regular, cada uno en un ángulo de 120 grados con respecto a los otros dos. El máximo en 3 dimensiones es 6: podemos tomar líneas a través de vértices opuestos de un icosaedro . Se sabe que el número máximo en cualquier dimensión es menor o igual que . [1] Este límite superior está ajustado a un factor constante para una construcción de De Caen. [2] El máximo en las dimensiones 1 a 16 se enumera en la Enciclopedia en línea de secuencias de números enteros de la siguiente manera:
En particular, el número máximo de líneas equiangulares en 7 dimensiones es 28. Podemos obtener estas líneas de la siguiente manera. Tome el vector (−3, −3,1,1,1,1,1,1) en, y forman los 28 vectores obtenidos permutando los componentes de este. El producto escalar de dos de estos vectores es 8 si ambos tienen un componente 3 en el mismo lugar o −8 en caso contrario. Por tanto, las líneas que pasan por el origen que contienen estos vectores son equiangulares. Además, los 28 vectores son ortogonales al vector (1,1,1,1,1,1,1,1) en, por lo que se encuentran en un espacio de 7 dimensiones. De hecho, estos 28 vectores y sus negativos son, hasta la rotación y la dilatación, los 56 vértices del politopo 3 21 . En otras palabras, son los vectores de peso de la representación de 56 dimensiones del grupo de Lie E 7 .
Las líneas equiangulares equivalen a dos gráficos . Dado un conjunto de líneas equiangulares, sea c el coseno del ángulo común. Suponemos que el ángulo no es de 90 °, ya que ese caso es trivial (es decir, no es interesante, porque las líneas son simplemente ejes de coordenadas); por tanto, c es distinto de cero. Podemos mover las líneas para que todas pasen por el origen de las coordenadas. Elija un vector unitario en cada línea. Forme la matriz M de productos internos . Esta matriz tiene 1 en la diagonal y ± c en cualquier otro lugar, y es simétrica. Restando la matriz identidad I y dividiendo por c , tenemos una matriz simétrica con diagonal cero y ± 1 fuera de la diagonal. Esta es la matriz de adyacencia de Seidel de un gráfico de dos. A la inversa, cada gráfico de dos se puede representar como un conjunto de líneas equiangulares. [3]
El problema de determinar el número máximo de líneas equiangulares con un ángulo fijo en dimensiones suficientemente altas fue resuelto por Jiang, Tidor, Yao, Zhang y Zhao. [4] La respuesta se expresa en términos teóricos de gráficos espectrales. Dejar denotar el número máximo de líneas a través del origen en dimensiones con ángulo de pares común . Dejar denotar el número mínimo (si existe) de vértices en un gráfico cuya matriz de adyacencia tiene un radio espectral exactamente . Si es finito, entonces para todas las dimensiones suficientemente grandes (aquí lo "suficientemente grande" puede depender de ). Si no existe, entonces .
Líneas equiangulares en un espacio vectorial complejo
En un espacio vectorial complejo equipado con un producto interno , podemos definir el ángulo entre vectores unitarios y por la relación . Se sabe que un límite superior para el número de líneas equiangulares complejas en cualquier dimensión es . A diferencia del caso real descrito anteriormente, es posible que este límite se logre en todas las dimensiones.. La conjetura de que esto es cierto fue propuesta por Zauner [5] y verificada analítica o numéricamente hastapor Scott y Grassl. [6] Un conjunto máximo de líneas equiangulares complejas también se conoce como SIC o SIC-POVM .
Notas
- JJ Seidel "Geometría discreta no euclidiana" En Buekenhout (ed.), Handbook of Incidence Geometry , Elsevier, Amsterdam, The Nederlands (1995) afirma, sin pruebas, que el número máximo de líneas equiangulares en la dimensión 14 es 28. Esto es no conocido.
- ^ Lemmens, PW H; Seidel, J. J (1 de marzo de 1973). "Líneas equiangulares" . Revista de álgebra . 24 (3): 494–512. doi : 10.1016 / 0021-8693 (73) 90123-3 . ISSN 0021-8693 .
- ^ Caen, D. de (9 de noviembre de 2000). "Grandes conjuntos equiangulares de líneas en el espacio euclidiano" . La Revista Electrónica de Combinatoria . 7 : R55. doi : 10.37236 / 1533 . ISSN 1077-8926 .
- ^ van Lint y Seidel 1966
- ^ Jiang, Zilin; Tidor, Jonathan; Yao, Yuan; Zhang, Shengtong; Zhao, Yufei (2019). "Líneas equiangulares con ángulo fijo". arXiv : 1907.12466 [ math.CO ].
- ^ Zauner, Gerhard (1999). Fundamentos de diseños cuánticos de la teoría del diseño no conmutativo (PDF) (PhD). Universidad de Viena.
- ^ Scott, AJ; Grassl, M. (1 de abril de 2010). "Medidas simétricas informativamente completas valoradas por el operador positivo: un nuevo estudio informático". Revista de Física Matemática . 51 (4): 042203. arXiv : 0910.5784 . Código bibliográfico : 2010JMP .... 51d2203S . doi : 10.1063 / 1.3374022 . ISSN 0022-2488 . S2CID 115159554 .
Referencias
- K. Hartnett (2017), " Un nuevo camino hacia las líneas equiangulares ", Revista Quanta .
- Balla, Igor; Dräxler, Felix; Keevash, Peter; Sudakov, Benny (2016). "Líneas equiangulares y códigos esféricos en el espacio euclidiano". arXiv : 1606.06620 [ math.CO ].
- Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A002853 (Tamaño máximo de un conjunto de líneas equiangulares en n dimensiones)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- Brouwer, AE , Cohen, AM y Neumaier, A. Gráficos regulares de distancia. Springer-Verlag, Berlín, 1989. Sección 3.8.
- Godsil, Chris ; Royle, Gordon (2001), Teoría de grafos algebraicos , Textos de posgrado en matemáticas, 207 , Nueva York: Springer-Verlag. (Vea el Capítulo 11.)
- Gosselin, S., Dos gráficos regulares y líneas equiangulares , tesis de maestría, Departamento de Matemáticas, Universidad de Waterloo, 2004.
- van Lint, JH; Seidel, JJ (1966), "Conjuntos de puntos equiláteros en geometría elíptica", Indagationes Mathematicae , Proc. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Ser. A 69, 28 : 335–348
- Greaves, Gary; Koolen, Jacobus H .; Munemasa, Akihiro; Szöllősi, Ferenc (2016). "Líneas equiangulares en espacios euclidianos". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 138 : 208-235. arXiv : 1403.2155 . doi : 10.1016 / j.jcta.2015.09.008 . S2CID 11841813 .
- Greaves, Gary; Syatriadi, Jeven; Yatsyna, Pavlo (2020). "Líneas equiangulares en espacios euclidianos de baja dimensión". arXiv : 2002.08085 [ math.CO ].
- Barg, Alexander; Yu, Wei-Hsuan (2013). "Nuevos límites para líneas equiangulares". arXiv : 1311.3219 [ math.MG ].
- Jiang, Zilin; Tidor, Jonathan; Yao, Yuan; Zhang, Shengtong; Zhao, Yufei (2019). "Líneas equiangulares con ángulo fijo". arXiv : 1907.12466 [ math.CO ].