En matemáticas , un biquaternion dividido es un número hipercomplejo de la forma
donde w , x , y , z son números complejos divididos e i, j y k se multiplican como en el grupo de cuaterniones . Dado que cada coeficiente w , x , y , z abarca dos dimensiones reales , el biquaternion dividido es un elemento de un espacio vectorial de ocho dimensiones . Considerando que lleva una multiplicación, este espacio vectorial es un álgebra sobre el campo real, o un álgebra sobre un anillo donde los números complejos divididos forman el anillo. Esta álgebra fue introducida porWilliam Kingdon Clifford en un artículo de 1873 para la London Mathematical Society . Se ha observado repetidamente en la literatura matemática desde entonces, de diversas formas como una desviación en la terminología, una ilustración del producto tensorial de las álgebras y como una ilustración de la suma directa de las álgebras . Los algebristas han identificado los biquaternions divididos de diversas formas; ver § Sinónimos a continuación.
Definición moderna
Un biquaternion dividido es un anillo isomorfo al álgebra de Clifford C ℓ 0,3 ( R ). Esta es el álgebra geométrica generada por tres direcciones base de unidades imaginarias ortogonales, { e 1 , e 2 , e 3 } bajo la regla de combinación
dando un álgebra abarcada por los 8 elementos básicos {1, e 1 , e 2 , e 3 , e 1 e 2 , e 2 e 3 , e 3 e 1 , e 1 e 2 e 3 }, con ( e 1 e 2 ) 2 = ( e 2 e 3 ) 2 = ( e 3 e 1 ) 2 = −1 y ω 2 = ( e 1 e 2 e 3 ) 2 = +1. La subálgebra abarcada por los 4 elementos {1, i = e 1 , j = e 2 , k = e 1 e 2 } es el anillo de división de los cuaterniones de Hamilton , H = C ℓ 0,2 ( R ) . Por tanto, se puede ver que
donde D = C ℓ 1,0 ( R ) es el álgebra dividida por {1, ω}, el álgebra de los números complejos divididos . Equivalentemente,
Grupo de biquaternion dividido
Los biquaternions divididos forman un anillo asociativo , como queda claro al considerar las multiplicaciones en su base {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Cuando ω se une al grupo de cuaterniones, se obtiene un grupo de 16 elementos
- ({1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).
Suma directa de dos anillos de cuaternión
La suma directa del anillo de división de cuaterniones consigo mismo se denota . El producto de dos elementos y es en este álgebra de suma directa .
Proposición: El álgebra de bicuaterniones divididos es isomórfica a
prueba: Cada biquaternion dividido tiene una expresión q = w + z ω donde w y z son cuaterniones y ω 2 = +1. Ahora, si p = u + v ω es otro biquaternion dividido, su producto es
El mapeo de isomorfismos de biquaternions divididos a es dado por
En , el producto de estas imágenes, de acuerdo con el álgebra-producto de indicado arriba, es
Este elemento también es la imagen de pq debajo del mapeo en Así los productos concuerdan, el mapeo es un homomorfismo; y dado que es biyectivo , es un isomorfismo.
Aunque los biquaternions divididos forman un espacio de ocho dimensiones como los biquaternions de Hamilton, sobre la base de la Proposición es evidente que este álgebra se divide en la suma directa de dos copias de los cuaterniones reales.
Hamilton biquaternion
Los biquaternions divididos no deben confundirse con los biquaternions (ordinarios) introducidos previamente por William Rowan Hamilton . Los biquaternions de Hamilton son elementos del álgebra
Sinónimos
Los siguientes términos y compuestos se refieren al álgebra de biquaternion dividido:
- biquaternions elípticos - Clifford 1873 , Rooney 2007
- Clifford biquaternion - Joly 1902 , van der Waerden 1985
- dyquaternions - Rosenfeld 1997
- donde D = números complejos divididos - Bourbaki 1994 , Rosenfeld 1997
- , la suma directa de dos álgebras de cuaterniones - van der Waerden 1985
Ver también
Referencias
- Clifford, WK (1873) Bosquejo preliminar de Biquaternions , páginas 195–7 en Mathematical Papers via Internet Archive
- Clifford, WK (1882) The Classification of Geometric Algebras , página 401 en Mathematical Papers , editor de R. Tucker
- Girard, PR (1984). "El grupo de cuaterniones y la física moderna". EUR. J. Phys . 5 (1): 25–32. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 5/1/007 .
- Rooney, Joe (2007). "William Kingdon Clifford" . En Ceccarelli, Marco (ed.). Figuras Distinguidas en Mecanismos y Ciencias de la Máquina: Sus Contribuciones y Legados . Saltador. págs. 79–. ISBN 978-1-4020-6366-4.
- Joly, Charles Jasper (1905). Un manual de cuaterniones . Macmillan. pag. 21 .
- Rosenfeld, Boris (1997). Geometría de los grupos de mentiras . Kluwer. pag. 48. ISBN 978-0-7923-4390-5.
- Bourbaki, N. (2013) [1994]. Elementos de la Historia de las Matemáticas . Traducido por Meldrum, J. Springer. pag. 137. ISBN 978-3-642-61693-8.
- van der Waerden, BL (1985). Una historia del álgebra . Saltador. pag. 188 . ISBN 978-0-387-13610-3.