En matemáticas , los octoniones divididos son un álgebra no asociativa de 8 dimensiones sobre los números reales . A diferencia de los octoniones estándar , contienen elementos distintos de cero que no son invertibles. También las firmas de sus formas cuadráticas difieren: los octoniones divididos tienen una firma dividida (4,4) mientras que los octoniones tienen una firma definida positiva (8,0).
Hasta el isomorfismo, los octoniones y los octoniones divididos son las únicas dos álgebras de composición de 8 dimensiones sobre los números reales. También son las únicas dos álgebras de octoniones sobre los números reales. Las álgebras de octoniones divididos análogas a los octoniones divididos se pueden definir en cualquier campo .
Definición
Construcción Cayley – Dickson
Los octoniones y los octoniones divididos se pueden obtener de la construcción de Cayley-Dickson definiendo una multiplicación por pares de cuaterniones . Introducimos una nueva unidad imaginaria ℓ y escribimos un par de cuaterniones ( a , b ) en la forma a + ℓ b . El producto está definido por la regla: [1]
dónde
Si se elige λ para que sea −1, obtenemos los octoniones. Si, en cambio, se toma como +1 obtenemos los octoniones divididos. También se pueden obtener los octoniones divididos a través de una duplicación Cayley-Dickson de los cuaterniones divididos . Aquí, cualquier elección de λ (± 1) da los octoniones divididos.
Tabla de multiplicación
Una base para las octoniones divididas viene dada por el conjunto.
Cada octonion dividido se puede escribir como una combinación lineal de los elementos básicos,
con coeficientes reales .
Por linealidad, la multiplicación de octoniones divididos está completamente determinada por la siguiente tabla de multiplicar :
multiplicador | |||||||||
multiplicando | |||||||||
Un mnemónico conveniente viene dado por el diagrama de la derecha, que representa la tabla de multiplicar para los octoniones divididos. Éste se deriva de su octonión padre (uno de 480 posibles), que se define por:
dónde es el delta de Kronecker yes el símbolo de Levi-Civita con valor Cuándo y:
con el elemento escalar, y
Las flechas rojas indican posibles inversiones de dirección impuestas al negar el cuadrante inferior derecho del padre creando un octonión dividido con esta tabla de multiplicar.
Conjugado, norma e inverso
El conjugado de un octonión dividido x viene dado por
al igual que para las octoniones.
La forma cuadrática de x viene dada por
Esta forma cuadrática N ( x ) es una forma cuadrática isotrópica ya que hay octoniones divididos distintos de cero x con N ( x ) = 0. Con N , los octoniones divididos forman un espacio pseudoeuclidiano de ocho dimensiones sobre R , a veces escrito R 4,4 para denotar la firma de la forma cuadrática.
Si N ( x ) ≠ 0, entonces x tiene una inversa multiplicativa (bilateral) x −1 dada por
Propiedades
Los octoniones divididos, como los octoniones, son no conmutativos y no asociativos. También como los octoniones, forman un álgebra de composición ya que la forma cuadrática N es multiplicativa. Es decir,
Los octoniones divididos satisfacen las identidades de Moufang y, por lo tanto, forman un álgebra alternativa . Por lo tanto, según el teorema de Artin , la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa. El conjunto de todos los elementos invertibles (es decir, aquellos elementos para los que N ( x ) ≠ 0) forman un bucle de Moufang .
El grupo de automorfismo de los octoniones divididos es un grupo de Lie de 14 dimensiones, la forma real dividida del excepcional grupo de Lie simple G 2 .
Álgebra de matrices vectoriales de Zorn
Dado que los octoniones divididos no son asociativos, no pueden representarse mediante matrices ordinarias (la multiplicación de matrices siempre es asociativa). Zorn encontró una manera de representarlos como "matrices" que contienen escalares y vectores usando una versión modificada de la multiplicación de matrices. [2] Específicamente, defina una matriz vectorial como una matriz de 2 × 2 de la forma [3] [4] [5] [6]
donde a y b son números reales y v y w son vectores en R 3 . Definir la multiplicación de estas matrices por la regla
donde · y × son el producto escalar ordinario y el producto cruzado de 3 vectores. Con la suma y la multiplicación escalar definidas como de costumbre, el conjunto de todas estas matrices forma un álgebra unital de 8 dimensiones no asociativa sobre los reales, llamada álgebra de matriz vectorial de Zorn .
Definir el " determinante " de una matriz vectorial mediante la regla
- .
Este determinante es una forma cuadrática en el álgebra de Zorn que satisface la regla de composición:
El álgebra de matrices vectoriales de Zorn es, de hecho, isomórfico al álgebra de octoniones divididos. Escribir un octonion en la forma
dónde y son números reales yv y w son cuaterniones imaginarios puros considerados como vectores en R 3 . El isomorfismo de los octoniones divididos al álgebra de Zorn viene dado por
Este isomorfismo conserva la norma ya que .
Aplicaciones
Los octoniones divididos se utilizan en la descripción de la ley física. Por ejemplo:
- La ecuación de Dirac en física (la ecuación de movimiento de una partícula de espín libre 1/2, como por ejemplo un electrón o un protón) se puede expresar en aritmética nativa de octonión dividido. [7]
- La mecánica cuántica supersimétrica tiene una extensión octoniónica. [8]
- El álgebra de octonión dividido basada en Zorn se puede utilizar en el modelado de cromodinámica cuántica SU (3) simétrica de calibre local. [9]
- El problema de una bola que rueda sin resbalar sobre una bola de radio 3 veces mayor tiene la forma real dividida del grupo excepcional G 2 como su grupo de simetría, debido a que este problema puede describirse usando octoniones divididos. [10]
Referencias
- ^ Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras , página 158, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR2014924
- ^ Max Zorn (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
- ^ Nathan Jacobson (1962) Lie Algebras , página 142, Interscience Publishers.
- ^ Schafer, Richard D. (1966). Introducción a las álgebras no asociativas . Prensa académica . págs. 52–6. ISBN 0-486-68813-5.
- ^ Lowell J. Page (1963) "Jordan Algebras", páginas 144-186 en Studies in Modern Algebra editado por AA Albert, Mathematics Association of America : Zorn's vector-matrix álgebra en la página 180
- ^ Arthur A. Sagle y Ralph E. Walde (1973) Introducción a grupos de mentiras y álgebras de mentiras , página 199, Academic Press
- ^ M. Gogberashvili (2006) "Electrodinámica octoniónica", Journal of Physics A 39: 7099-7104. doi : 10.1088 / 0305-4470 / 39/22/020
- ^ V. Dzhunushaliev (2008) "No asociatividad, supersimetría y variables ocultas", Journal of Mathematical Physics 49: 042108 doi : 10.1063 / 1.2907868 ; arXiv : 0712.1647
- ^ B. Wolk, Adv. Apl. Álgebras de Clifford 27 (4), 3225 (2017).
- ^ J. Baez y J. Huerta, G 2 y la bola rodante, Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 366, 5257-5293 (2014); arXiv : 1205.2447 .
- Harvey, F. Reese (1990). Spinors y Calibraciones . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-329650-1.
- Nash, Patrick L (1990) "Sobre la estructura del álgebra octonion dividida", Il Nuovo Cimento B 105 (1): 31-41. doi : 10.1007 / BF02723550
- Springer, TA; FD Veldkamp (2000). Octoniones, álgebras de Jordan y grupos excepcionales . Springer-Verlag. ISBN 3-540-66337-1.