En matemáticas , una secuencia de n números reales pueden ser entendidas como una ubicación en n - dimensional espacio. Cuando n = 8, el conjunto de todas esas ubicaciones se denomina espacio de 8 dimensiones . A menudo, estos espacios se estudian como espacios vectoriales , sin ninguna noción de distancia. El espacio euclidiano de ocho dimensiones es un espacio de ocho dimensiones equipado con la métrica euclidiana .
De manera más general, el término puede referirse a un espacio vectorial de ocho dimensiones sobre cualquier campo , como un espacio vectorial complejo de ocho dimensiones , que tiene 16 dimensiones reales. También puede referirse a una variedad de ocho dimensiones , como una esfera de ocho , o una variedad de otras construcciones geométricas.
Geometría
8 politopos
Un politopo en ocho dimensiones se llama 8-politopo. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales solo hay tres en ocho dimensiones : el 8-simplex , 8-cube y 8-ortoplex . Una familia más amplia son los 8-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de reflexión de simetría fundamental, cada dominio definido por un grupo Coxeter . Cada politopo uniforme está definido por un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 8-demicube es un politopo único de la familia D 8 , y los politopos 4 21 , 2 41 y 1 42 de la familia E 8 .
A 8 | B 8 | D 8 | |||||||||
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![]() 8 simplex ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,3,3,3,3,3} | ![]() 8 cubos ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {4,3,3,3,3,3,3} | ![]() 8-ortoplex ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,3,3,3,3,4} | ![]() 8-demicubo ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() h {4,3,3,3,3,3,3} | ||||||||
E 8 | |||||||||||
![]() 4 21 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,3,3,3 2,1 } | ![]() 2 41 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,3 4,1 } | ![]() 1 42 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3 4,2 } |
7 esferas
La 7-esfera o hiperesfera en ocho dimensiones es la superficie de siete dimensiones equidistante de un punto, por ejemplo, el origen. Tiene el símbolo S 7 , con definición formal para la 7-esfera con radio r de
El volumen del espacio delimitado por esta 7-esfera es
que es 4.05871 × r 8 , o 0.01585 del cubo de 8 que contiene la esfera de 7.
Problema de número de besos
El problema del número de besos se ha resuelto en ocho dimensiones, gracias a la existencia del politopo 4 21 y su celosía asociada . El número de besos en ocho dimensiones es 240 .
Octonions
Los octoniones son un álgebra de división normalizada sobre los números reales, el álgebra más grande. Matemáticamente, se pueden especificar mediante 8 grupos de números reales, por lo que forman un espacio vectorial de 8 dimensiones sobre los reales, siendo la suma de vectores la suma en el álgebra. Un álgebra normada es aquella con un producto que satisface
para todos los x y y en el álgebra. Además, un álgebra de división normalizada debe ser de dimensión finita y tener la propiedad de que todo vector distinto de cero tiene un inverso multiplicativo único. El teorema de Hurwitz prohíbe que dicha estructura exista en dimensiones distintas de 1, 2, 4 u 8.
Biquaternions
Los cuaterniones complejos , o " biquaternions " , son un álgebra de ocho dimensiones que data del trabajo de William Rowan Hamilton en la década de 1850. Esta álgebra es equivalente (es decir, isomórfica ) a la álgebra de Clifford y el álgebra de Pauli . También se ha propuesto como una herramienta práctica o pedagógica para hacer cálculos en relatividad especial , y en ese contexto se conoce con el nombre de Álgebra del espacio físico (que no debe confundirse con el álgebra del espacio-tiempo , que es de 16 dimensiones).
Referencias
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 Wiley :: Kaleidoscopes: Selected Escritos de HSM Coxeter
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- Tabla de los números de besos más altos actualmente conocidos mantenida por Gabriele Nebe y Neil Sloane (límites inferiores)
- Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003), Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría , AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9. ( Revisión ).
- Duplij , Steven; Siegel , Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Enciclopedia concisa de supersimetría y estructuras no conmutativas en matemáticas y física , Berlín, Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4020-1338-6 (Segunda impresión)