En las matemáticas , sin sentido abstracto , sin sentido general y abstracta , sin sentido abstracto generalizada y sin sentido general, son términos utilizados por los matemáticos para describir métodos abstractos relacionados con la teoría de la categoría y el álgebra homológica . De manera más general, "absurdo abstracto" puede referirse a una prueba que se basa en métodos teóricos de categorías, o incluso al estudio de la teoría de categorías en sí. [1]
Fondo
En términos generales, la teoría de categorías es el estudio de la forma general, es decir, categorías de teorías matemáticas, sin tener en cuenta su contenido. Como resultado, las demostraciones matemáticas que se basan en ideas teóricas de categorías a menudo parecen estar fuera de contexto, algo parecido a un non sequitur . Los autores a veces denominan estas pruebas como "disparates abstractos" como una forma desenfadada de alertar a los lectores sobre su naturaleza abstracta. Etiquetar un argumento como "absurdo abstracto" generalmente no tiene la intención de ser despectivo, [2] [3] y, en cambio, se usa en broma, [4] de una manera autocrítica , [5] afectuosa, [6] o incluso como un cumplido. a la generalidad del argumento.
Ciertas ideas y construcciones en matemáticas comparten una uniformidad en muchos dominios, unificados por la teoría de categorías. Los métodos típicos incluyen el uso de espacios de clasificación y propiedades universales , el uso del lema de Yoneda , las transformaciones naturales entre functores y la búsqueda de diagramas . [7]
Cuando se puede suponer que una audiencia está familiarizada con la forma general de tales argumentos, los matemáticos utilizarán la expresión "Tal y tal es verdad por absurdo abstracto " en lugar de proporcionar una explicación elaborada de los particulares. [3] Por ejemplo, se podría decir que "por absurdo abstracto, los productos son únicos hasta el isomorfismo cuando existen " , en lugar de discutir cómo estos isomorfismos pueden derivarse de la propiedad universal que define el producto. Esto permite omitir los detalles de la prueba que pueden considerarse triviales o que no brindan mucha información, centrándose en cambio en partes genuinamente innovadoras de una prueba más grande.
Historia
El término es anterior a la fundación de la teoría de categorías como sujeto en sí. Refiriéndose a un artículo conjunto con Samuel Eilenberg que introdujo la noción de una " categoría " en 1942, Saunders Mac Lane escribió que el tema "entonces se llamaba" absurdo abstracto general "". [4] El término se utiliza a menudo para describir la aplicación de la teoría de categorías y sus técnicas a dominios menos abstractos. [8] [9]
Se cree que el término fue acuñado por el matemático Norman Steenrod , [10] [5] [6] él mismo uno de los desarrolladores del punto de vista categórico.
Ejemplos de
Considere el ejemplo de mostrar que una M de 3 variedades admite un mapa para la esfera 2 que no es trivial (es decir, no homotópico para un mapa constante), cuando el segundo número Betti de M es positivo. Esto significa que el segundo grupo de cohomología tiene un rango positivo (según el teorema del coeficiente universal para la cohomología ), por lo que tiene un elemento distinto de cero. Las propiedades de los espacios de Eilenberg-MacLane dan entonces un mapa no trivial correspondiente f de M al espacio proyectivo complejo de dimensión infinita CP ∞ , ya que es un espacio K ( Z , 2) de Eilenberg-MacLane . El espacio CP ∞ se puede realizar como un complejo CW con exactamente una celda en cada dimensión par y sin celdas en dimensión impar, mientras que M se puede realizar sin celdas en dimensiones superiores a 3, por lo que según el teorema de aproximación celular hay un mapa homotópico a f que mapea M en el 3-esqueleto de CP ∞ , que es el 2-esfera.
Aunque esta prueba establece la verdad del enunciado en cuestión, la técnica de prueba tiene poco que ver con la topología o geometría de las 2 esferas, y mucho menos las 3 variedades, ya que se basa en principios categóricos más generales. Debido a la dependencia de estos principios abstractos, el resultado es independiente de los detalles geométricos más sutiles, por lo que ofrece poca información geométrica sobre la naturaleza de dicho mapa. Por otro lado, la prueba es sorprendentemente breve y clara, y un enfoque "práctico" que implique la construcción explícita de tal mapa sería potencialmente laborioso.
notas y referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - absurdo abstracto" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 27 de octubre de 2019 .
- ^ Michael Monastyrsky, Algunas tendencias en matemáticas modernas y la medalla Fields. Lata. Matemáticas. Soc. Notes, marzo y abril de 2001, Volumen 33, núms. 2 y 3. Versión en línea disponible en http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf .
- " En álgebra, el término" sinsentido abstracto "tiene un significado definido sin ninguna connotación peyorativa " .
- ^ a b Macura, Wiktor K. "Sinsentido abstracto" . MathWorld .
- ^ a b Saunders Mac Lane. " El camino PNAS entonces ". Proc. Natl. Acad. Sci. EE . UU . Vol. 94, págs. 5983–5985, junio de 1997.
- " El primero de estos artículos es un caso más sorprendente; introdujo la idea muy abstracta de una" categoría ", ¡un tema que entonces se llamaba" absurdo abstracto general "! "
- ^ a b Joseph Rotman, " Una introducción al álgebra homológica , por Charles A. Weibel" (reseña del libro), Bull. Soy. Matemáticas. Soc., 33: 4 (octubre de 1996) 473–476.
- " La frase autocrítica de absurdo abstracto general (debido a Steenrod) fue promulgada por Eilenberg y Mac Lane, dos de los principales innovadores del álgebra homológica, para resaltar este aspecto del tema " .
- ↑ a b Serge Lang , Segunda edición de "Álgebra", Addison Wesley, 1984, p 175
- ^ Marquis, Jean-Pierre (2019), "Category Theory" , en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de otoño de 2019), Metaphysics Research Lab, Stanford University , consultado el 27 de octubre de 2019
- ^ Una aplicación de absurdos abstractos a la superficie , Harriet Lord
- ^ Sin sentido abstracto para programadores funcional Archivado 02/06/2015 en la Wayback Machine , Edsko de Vries
- ^ Colin McLarty, Los usos y abusos de la historia de la teoría de Topos , Br. J. Philos. Sci., 41 (1990) pág. 355.
- " Steenrod etiquetó en broma la teoría de categorías 'sin sentido abstracto' y la convirtió en un elemento central de su axiomática de la homología "
enlaces externos
- Uso en la exposición matemática de las notas de clase de Noam Elkies