En matemáticas, un número de Størmer o un número irreducible de arco-cotangente , llamado así por Carl Størmer , es un entero positivo n para el cual el mayor factor primo de n 2 + 1 es mayor o igual que 2 n .
Secuencia
Los primeros números de Størmer son:
Densidad
John Todd demostró que esta secuencia no es finita ni cofinita . [1]
¿Cuál es la densidad natural de los números de Størmer?
Más precisamente, la densidad natural de los números de Størmer se encuentra entre 0,5324 y 0,905. Se ha conjeturado que su densidad natural es el logaritmo natural de 2 , aproximadamente 0,693, pero esto no ha sido probado. [2] Debido a que los números de Størmer tienen densidad positiva, los números de Størmer forman un conjunto grande .
Restricciones
Un número de la forma 2x 2 para x> 1 no puede ser un número Størmer. Esto se debe a que (2x 2 ) 2 +1 = 4x 4 +1 = (2x 2 -2x + 1) (2x 2 + 2x + 1).
Solicitud
Los números de Størmer surgen en relación con el problema de representar los números de Gregory ( arctangents de números racionales )como sumas de números de Gregory para enteros (arctangents de fracciones unitarias ). El número de Gregoriopuede descomponerse multiplicando repetidamente el entero gaussiano por números de la forma , para cancelar los factores primos p de la parte imaginaria; aquí se elige para ser un número de Størmer tal que es divisible por . [3]
Referencias
- ^ Todd, John (1949), "Un problema en las relaciones de arco tangente", American Mathematical Monthly , 56 : 517-528, doi : 10.2307 / 2305526 , MR 0031496.
- ^ Everest, Graham; Harman, Glyn (2008), "Sobre los divisores primitivos de", Teoría de números y polinomios , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 352 , Cambridge Univ. Press, Cambridge, págs. 142-154, arXiv : math / 0701234 , doi : 10.1017 / CBO9780511721274.011 , MR 2428520. Ver en particular el Teorema 1.4 y la Conjetura 1.5.
- ^ Conway, John H .; Guy, RK (1996), The Book of Numbers , Nueva York: Copernicus Press, págs. 245–248. Ver en particular la p. 245, párr. 3.