El valor decimal del logaritmo natural de 2 (secuencia A002162 en la OEIS ) es aproximadamente
El logaritmo de 2 en otras bases se obtiene con la fórmula
El logaritmo común en particular es ( OEIS : A007524 )
El inverso de este número es el logaritmo binario de 10:
Según el teorema de Lindemann-Weierstrass , el logaritmo natural de cualquier número natural distinto de 0 y 1 (más generalmente, de cualquier número algebraico positivo distinto de 1) es un número trascendental .
Representaciones de series
Factorial alternativo creciente
- Esta es la conocida " serie armónica alterna ".
Factorial constante ascendente binaria
Otras representaciones de series
- utilizando
- (sumas de los recíprocos de números decagonales )
Implicación de la función Riemann Zeta
( γ es la constante de Euler-Mascheroni y ζ la función zeta de Riemann ).
Representaciones de tipo BBP
(Obtenga más información sobre las representaciones de tipo Bailey-Borwein-Plouffe (BBP) ).
Al aplicar las tres series generales para el logaritmo natural a 2 directamente se obtiene:
Aplicarlos a da:
Aplicarlos a da:
Aplicarlos a da:
Representación como integrales
El logaritmo natural de 2 ocurre con frecuencia como resultado de la integración. Algunas fórmulas explícitas para ello incluyen:
Otras representaciones
La expansión de Pierce es OEIS : A091846
La ampliación de Engel es OEIS : A059180
La expansión cotangente es OEIS : A081785
La expansión de fracción continua simple es OEIS : A016730
- ,
que produce aproximaciones racionales, las primeras de las cuales son 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 y 61/88.
Esta fracción continua generalizada :
- , [1]
- también expresable como
Bootstrapping otros logaritmos
Dado un valor de ln 2 , un esquema para calcular los logaritmos de otros números enteros es tabular los logaritmos de los números primos y en la siguiente capa los logaritmos de los números compuestos c basados en sus factorizaciones.
Esto emplea
principal | logaritmo natural aproximado | OEIS |
---|---|---|
2 | 0.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 | A002162 |
3 | 1.098 612 288 668 109 691 395 245 236 92 | A002391 |
5 | 1.609 437 912 434 100 374 600 759 333 23 | A016628 |
7 | 1.945 910 149 055 313 305 105 352 743 44 | A016630 |
11 | 2.397 895 272 798 370 544 061 943 577 97 | A016634 |
13 | 2.564 949 357 461 536 736 053 487 441 57 | A016636 |
17 | 2.833 213 344 056 216 080 249 534 617 87 | A016640 |
19 | 2.944 438 979 166 440 460 009 027 431 89 | A016642 |
23 | 3.135 494 215 929 149 690 806 752 831 81 | A016646 |
29 | 3.367 295 829 986 474 027 183 272 032 36 | A016652 |
31 | 3.433 987 204 485 146 245 929 164 324 54 | A016654 |
37 | 3.610 917 912 644 224 444 368 095 671 03 | A016660 |
41 | 3.713 572 066 704 307 803 866 763 373 04 | A016664 |
43 | 3.761 200 115 693 562 423 472 842 513 35 | A016666 |
47 | 3.850 147 601 710 058 586 820 950 669 77 | A016670 |
53 | 3.970 291 913 552 121 834 144 469 139 03 | A016676 |
59 | 4.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72 | A016682 |
61 | 4.110 873 864 173 311 248 751 389 103 43 | A016684 |
67 | 4.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36 | A016690 |
71 | 4.262 679 877 041 315 421 329 454 532 51 | A016694 |
73 | 4.290 459 441 148 391 129 092 108 857 44 | A016696 |
79 | 4.369 447 852 467 021 494 172 945 541 48 | A016702 |
83 | 4.418 840 607 796 597 923 475 472 223 29 | A016706 |
89 | 4.488 636 369 732 139 838 317 815 540 67 | A016712 |
97 | 4.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70 | A016720 |
En una tercera capa, los logaritmos de números racionales r =a/Bse calculan con ln ( r ) = ln ( a ) - ln ( b ) , y los logaritmos de las raíces a través de ln n √ c = 1/norteEn ( c ) .
El logaritmo de 2 es útil en el sentido de que las potencias de 2 están distribuidas de forma bastante densa; encontrar potencias 2 i cercanas a potencias b j de otros números b es comparativamente fácil, y las representaciones en serie de ln ( b ) se encuentran acoplando 2 ab con conversiones logarítmicas .
Ejemplo
Si p s = q t + d con alguna d pequeña , entoncesp s/q t = 1 + D/q t y por lo tanto
Seleccionar q = 2 representa ln ( p ) por ln 2 y una serie de un parámetroD/q tque uno desea mantener pequeño para una rápida convergencia. Tomando 3 2 = 2 3 + 1 , por ejemplo, genera
En realidad, esta es la tercera línea de la siguiente tabla de expansiones de este tipo:
s | pag | t | q | D/q t |
---|---|---|---|---|
1 | 3 | 1 | 2 | 1/2= 0.500 000 00 … |
1 | 3 | 2 | 2 | - 1/4 = -0,250 000 00 … |
2 | 3 | 3 | 2 | 1/8= 0,125 000 00 … |
5 | 3 | 8 | 2 | - 13/256 = -0,050 781 25 … |
12 | 3 | 19 | 2 | 7153/524 288= 0,013 643 26 … |
1 | 5 | 2 | 2 | 1/4= 0,250 000 00 … |
3 | 5 | 7 | 2 | - 3/128 = -0,023 437 50 … |
1 | 7 | 2 | 2 | 3/4= 0,750 000 00 … |
1 | 7 | 3 | 2 | - 1/8 = -0,125 000 00 … |
5 | 7 | 14 | 2 | 423/16 384= 0,025 817 87 … |
1 | 11 | 3 | 2 | 3/8= 0.375 000 00 … |
2 | 11 | 7 | 2 | - 7/128 = -0,054 687 50 … |
11 | 11 | 38 | 2 | 10 433 763 667/274 877 906 944= 0,037 957 81 … |
1 | 13 | 3 | 2 | 5/8= 0,625 000 00 … |
1 | 13 | 4 | 2 | - 3/dieciséis = -0,187 500 00 … |
3 | 13 | 11 | 2 | 149/2048= 0,072 753 91 … |
7 | 13 | 26 | 2 | - 4 360 347/67 108 864 = -0,064 974 23 ... |
10 | 13 | 37 | 2 | 419 538 377/137 438 953 472= 0,003 052 54 … |
1 | 17 | 4 | 2 | 1/dieciséis= 0,062 500 00 … |
1 | 19 | 4 | 2 | 3/dieciséis= 0,187 500 00 … |
4 | 19 | 17 | 2 | - 751/131 072 = -0,005 729 68 … |
1 | 23 | 4 | 2 | 7/dieciséis= 0,437 500 00 … |
1 | 23 | 5 | 2 | - 9/32 = -0,281 250 00 … |
2 | 23 | 9 | 2 | 17/512= 0,033 203 12 … |
1 | 29 | 4 | 2 | 13/dieciséis= 0,812 500 00 … |
1 | 29 | 5 | 2 | - 3/32 = -0,093 750 00 … |
7 | 29 | 34 | 2 | 70 007 125/17 179 869 184= 0,004 074 95 … |
1 | 31 | 5 | 2 | - 1/32 = -0,031 250 00 … |
1 | 37 | 5 | 2 | 5/32= 0,156 250 00 … |
4 | 37 | 21 | 2 | - 222 991/2 097 152 = -0,106 330 39 … |
5 | 37 | 26 | 2 | 2 235 093/67 108 864= 0,033 305 48 … |
1 | 41 | 5 | 2 | 9/32= 0,281 250 00 … |
2 | 41 | 11 | 2 | - 367/2048 = -0,179 199 22 … |
3 | 41 | dieciséis | 2 | 3385/65 536= 0,051 651 00 … |
1 | 43 | 5 | 2 | 11/32= 0,343 750 00 … |
2 | 43 | 11 | 2 | - 199/2048 = -0,097 167 97 … |
5 | 43 | 27 | 2 | 12 790 715/134 217 728= 0,095 298 25 … |
7 | 43 | 38 | 2 | - 3 059 295 837/274 877 906 944 = -0,011 129 65 … |
A partir del logaritmo natural de q = 10, se pueden utilizar estos parámetros:
s | pag | t | q | D/q t |
---|---|---|---|---|
10 | 2 | 3 | 10 | 3/125= 0,024 000 00 … |
21 | 3 | 10 | 10 | 460 353 203/10 000 000 000= 0,046 035 32 … |
3 | 5 | 2 | 10 | 1/4= 0,250 000 00 … |
10 | 5 | 7 | 10 | - 3/128 = -0,023 437 50 … |
6 | 7 | 5 | 10 | 17 649/100 000= 0,176 490 00 … |
13 | 7 | 11 | 10 | - 3 110 989 593/100 000 000 000 = -0,031 109 90 … |
1 | 11 | 1 | 10 | 1/10= 0,100 000 00 … |
1 | 13 | 1 | 10 | 3/10= 0.300 000 00 … |
8 | 13 | 9 | 10 | - 184 269 279/1 000 000 000 = -0,184 269 28 … |
9 | 13 | 10 | 10 | 604 499 373/10 000 000 000= 0,060 449 94 … |
1 | 17 | 1 | 10 | 7/10= 0,700 000 00 … |
4 | 17 | 5 | 10 | - 16 479/100 000 = -0,164 790 00 … |
9 | 17 | 11 | 10 | 18 587 876 497/100 000 000 000= 0,185 878 76 … |
3 | 19 | 4 | 10 | - 3141/10 000 = -0,314 100 00 … |
4 | 19 | 5 | 10 | 30 321/100 000= 0,303 210 00 … |
7 | 19 | 9 | 10 | - 106 128 261/1 000 000 000 = -0,106 128 26 … |
2 | 23 | 3 | 10 | - 471/1000 = -0,471 000 00 … |
3 | 23 | 4 | 10 | 2167/10 000= 0,216 700 00 … |
2 | 29 | 3 | 10 | - 159/1000 = -0,159 000 00 … |
2 | 31 | 3 | 10 | - 39/1000 = -0.039 000 00 … |
Dígitos conocidos
Ésta es una tabla de registros recientes en el cálculo de dígitos de ln 2 . A diciembre de 2018, se ha calculado con más dígitos que cualquier otro logaritmo natural [2] [3] de un número natural, excepto el de 1.
Fecha | Nombre | Número de dígitos |
---|---|---|
7 de enero de 2009 | A.Yee y R.Chan | 15,500,000,000 |
4 de febrero de 2009 | A.Yee y R.Chan | 31,026,000,000 |
21 de febrero de 2011 | Alexander Yee | 50.000.000.050 |
14 de mayo de 2011 | Shigeru Kondo | 100.000.000.000 |
28 de febrero de 2014 | Shigeru Kondo | 200.000.000.050 |
12 de julio de 2015 | Ron Watkins | 250.000.000.000 |
30 de enero de 2016 | Ron Watkins | 350.000.000.000 |
18 de abril de 2016 | Ron Watkins | 500.000.000.000 |
10 de diciembre de 2018 | Michael Kwok | 600.000.000.000 |
26 de abril de 2019 | Jacob Riffee | 1.000.000.000.000 |
19 de agosto de 2020 | Seungmin Kim [4] [5] | 1.200.000.000.100 |
Ver también
- Regla del 72 # Composición continua , en la que ln 2 ocupa un lugar destacado
- Semivida # Fórmulas para la semivida en desintegración exponencial , en las que ln 2 figura de
- Ecuación de Erdős-Moser : todas las soluciones deben provenir de un convergente de ln 2 .
Referencias
- Brent, Richard P. (1976). "Evaluación rápida de precisión múltiple de funciones elementales". J. ACM . 23 (2): 242-251. doi : 10.1145 / 321941.321944 . Señor 0395314 .
- Uhler, Horace S. (1940). "Recálculo y ampliación del módulo y de los logaritmos de 2, 3, 5, 7 y 17" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 26 (3): 205–212. doi : 10.1073 / pnas.26.3.205 . Señor 0001523 . PMC 1078033 . PMID 16588339 .
- Sweeney, Dura W. (1963). "Sobre el cálculo de la constante de Euler" . Matemáticas de la Computación . 17 (82): 170-178. doi : 10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X . Señor 0160308 .
- Chamberland, Marc (2003). "Fórmulas binarias de BBP para logaritmos y primos generalizados de Gauss-Mersenne" (PDF) . Diario de secuencias de enteros . 6 : 03.3.7. Señor 2046407 . Archivado desde el original (PDF) en 2011-06-06 . Consultado el 29 de abril de 2010 .
- Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construcción de sumas binomiales para π y constantes polilogarítmicas inspiradas en fórmulas BBP" (PDF) . Matemáticas Aplicadas. Notas electrónicas . 7 : 237–246. Señor 2346048 .
- Wu, Qiang (2003). "Sobre la medida de independencia lineal de logaritmos de números racionales" . Matemáticas de la Computación . 72 (242): 901–911. doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01442-4 .
- ^ Borwein, J .; Crandall, R .; Libre, G. (2004). "En la fracción de Ramanujan AGM, I: el caso de parámetros reales" (PDF) . Exper. Matemáticas . 13 (3): 278–280. doi : 10.1080 / 10586458.2004.10504540 .
- ^ "y-cruncher" . numberworld.org . Consultado el 10 de diciembre de 2018 .
- ^ "Logaritmo natural de 2" . numberworld.org . Consultado el 10 de diciembre de 2018 .
- ^ "Récords establecidos por y-cruncher" . Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2020 . Consultado el 15 de septiembre de 2020 .
- ^ "Logaritmo natural de 2 (Log (2)) récord mundial por Seungmin Kim" . Consultado el 15 de septiembre de 2020 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Logaritmo natural de 2" . MathWorld .
- "tabla de logaritmos naturales" . PlanetMath .
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "La constante logarítmica: log 2" .