En matemáticas y sus aplicaciones, particularmente a las transiciones de fase en la materia, un problema de Stefan es un tipo particular de problema de valor límite para un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (PDE), en el que el límite entre las fases puede moverse con el tiempo. El problema clásico de Stefan tiene como objetivo describir la evolución del límite entre dos fases de un material que experimenta un cambio de fase , por ejemplo, la fusión de un sólido, como el hielo en agua . Esto se logra resolviendo ecuaciones de caloren ambas regiones, sujeto a límites y condiciones iniciales dadas. En la interfaz entre las fases (en el problema clásico), la temperatura se ajusta a la temperatura de cambio de fase. Para cerrar el sistema matemático , se requiere una ecuación adicional, la condición de Stefan . Este es un balance de energía que define la posición de la interfaz móvil. Tenga en cuenta que este límite en evolución es una (hiper) superficie desconocida ; por tanto, los problemas de Stefan son ejemplos de problemas de límites libres .
Se producen problemas análogos, por ejemplo, en el estudio del flujo de medios porosos, las finanzas matemáticas y el crecimiento de cristales a partir de soluciones de monómeros. [1]
Nota histórica
El problema lleva el nombre de Josef Stefan (Jožef Stefan), el físico esloveno que introdujo la clase general de tales problemas alrededor de 1890 en una serie de cuatro artículos sobre la congelación del suelo y la formación de hielo marino . [2] Sin embargo, unos 60 años antes, en 1831, Lamé y Clapeyron habían estudiado un problema equivalente, relativo a la formación de la corteza terrestre . El problema de Stefan admite una solución de similitud , esto a menudo se denomina la solución de Neumann , que supuestamente se presentó en una serie de conferencias a principios de la década de 1860.
Se puede encontrar una descripción completa de la historia de los problemas de Stefan en Rubinstein. [3]
Premisas a la descripción matemática
Desde un punto de vista matemático, las fases son simplemente regiones en las que las soluciones de la PDE subyacente son continuas y diferenciables hasta el orden de la PDE. En problemas físicos, estas soluciones representan propiedades del medio para cada fase. Los límites móviles (o interfaces ) son superficies infinitesimalmente delgadas que separan fases adyacentes; por lo tanto, las soluciones del PDE subyacente y sus derivados pueden sufrir discontinuidades a través de las interfaces.
Los PDE subyacentes no son válidos en las interfaces de cambio de fase; por lo tanto, se necesita una condición adicional, la condición de Stefan, para obtener el cierre . La condición de Stefan expresa la velocidad local de un límite en movimiento, en función de las cantidades evaluadas a cada lado del límite de fase, y generalmente se deriva de una restricción física. En problemas de transferencia de calor con cambio de fase, por ejemplo, la conservación de energía dicta que la discontinuidad del flujo de calor en la frontera debe ser explicada por la tasa de liberación de calor latente (que es proporcional a la velocidad local de la interfaz).
Formulación matemática
El problema de Stefan unidimensional y monofásico
El problema de Stefan de una fase se basa en la suposición de que una de las fases del material puede pasarse por alto. Normalmente, esto se logra asumiendo que una fase está a la temperatura de cambio de fase y, por lo tanto, cualquier variación de esto conduce a un cambio de fase. Esta es una aproximación matemáticamente conveniente, que simplifica el análisis al mismo tiempo que demuestra las ideas esenciales detrás del proceso. Una simplificación estándar adicional es trabajar en formato adimensional , de modo que la temperatura en la interfaz se pueda establecer en cero y los valores de campo lejano en +1 o -1.
Considere un bloque de hielo unidimensional semi-infinito inicialmente a la temperatura de fusión u ≡ 0 para x ∈ [0, + ∞) . La forma más conocida del problema de Stefan implica la fusión a través de una temperatura constante impuesta en el límite de la izquierda, dejando una región [0, s ( t )] ocupada por agua. La profundidad de fusión, denotada por s ( t ) , es una función desconocida del tiempo. El problema de Stefan se define por
- donde β es el número de Stefan, la relación entre el calor sensible latente y el calor sensible específico (donde específico indica que está dividido por la masa). Tenga en cuenta que esta definición se deriva naturalmente de la no dimensionalización y se utiliza en muchos textos [4] [5], sin embargo, también se puede definir como la inversa de esto (por ejemplo, en la entrada de Wikipedia, número de Stefan ).
- La solución de Neumann, obtenida mediante el uso de variables auto-similares, indica que la posición del límite está dada por donde λ satisface la ecuación trascendentalLa temperatura en el líquido viene dada por
Aplicaciones
Además de modelar la fusión de sólidos, el problema de Stefan también se utiliza como modelo para el comportamiento asintótico (en el tiempo) de problemas más complejos. Por ejemplo, Pego [6] usa expansiones asintóticas emparejadas para demostrar que las soluciones de Cahn-Hilliard para problemas de separación de fases se comportan como soluciones a un problema de Stefan no lineal en una escala de tiempo intermedia. Además, la solución de la ecuación de Cahn-Hilliard para una mezcla binaria es razonablemente comparable con la solución de un problema de Stefan. [7] En esta comparación, el problema de Stefan se resolvió utilizando un método de malla móvil de seguimiento frontal con condiciones de frontera de Neumann homogéneas en el límite exterior. Además, los problemas de Stefan se pueden aplicar para describir transformaciones de fase. [8]
El problema de Stefan también tiene una rica teoría inversa; en este tipo de problemas, la profundidad meting (o curva o hipersuperficie ) s es el dato conocido y el problema es encontrar u o f . [9]
Formas avanzadas del problema de Stefan
El problema clásico de Stefan trata con materiales estacionarios con propiedades termofísicas constantes (generalmente independientemente de la fase), una temperatura de cambio de fase constante y, en el ejemplo anterior, un cambio instantáneo de la temperatura inicial a un valor distinto en el límite. En la práctica, las propiedades térmicas pueden variar y específicamente siempre lo hacen cuando cambia la fase. El salto de densidad en el cambio de fase induce un movimiento de fluido: la energía cinética resultante no figura en el balance de energía estándar. Con un interruptor de temperatura instantáneo, la velocidad inicial del fluido es infinita, lo que resulta en una energía cinética inicial infinita. De hecho, la capa líquida está a menudo en movimiento, lo que requiere términos de advección o convección en la ecuación del calor . La temperatura de la masa fundida puede variar con el tamaño, la curvatura o la velocidad de la interfaz. Es imposible cambiar instantáneamente las temperaturas y luego es difícil mantener una temperatura límite fija exacta. Además, en la nanoescala, es posible que la temperatura ni siquiera siga la ley de Fourier.
Varios de estos problemas se han abordado en los últimos años para una variedad de aplicaciones físicas. En la solidificación de fundidos superenfriados, se puede encontrar un análisis en el que la temperatura de cambio de fase depende de la velocidad de la interfaz en Font et al . [10] Se ha modelado la solidificación a nanoescala, con cambios de fase variables de temperatura y efectos de energía / densidad. [11] [12] Se ha estudiado la solidificación con flujo en un canal, en el contexto de lava [13] y microcanales, [14] o con una superficie libre en el contexto de agua congelada sobre una capa de hielo. [15] [16] Se analiza un modelo general que incluye diferentes propiedades en cada fase, temperatura de cambio de fase variable y ecuaciones de calor basadas en la ley de Fourier o la ecuación de Guyer-Krumhansl. [17]
Ver también
- Problema de límite libre
- Olga Arsenievna Oleinik
- Shoshana Kamin
- Ecuación de Stefan
Notas
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Referencias
Referencias históricas
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Referencias científicas y generales
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- Kamenomostskaya, SL (1961), "Sobre el problema de Stefan" , Matematicheskii Sbornik (en ruso), 53 (95) (4): 489–514, MR 0141895 , Zbl 0102.09301. En este artículo la autora demuestra la existencia y singularidad de una solución generalizada para el problema de Stefan tridimensional , posteriormente mejorada por su maestra Olga Oleinik.
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- Tarzia, Domingo Alberto (julio de 2000), "Bibliografía sobre problemas de límites libres de movimiento para la ecuación de difusión de calor. El Stefan y problemas relacionados", MAT. Serie A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1–297, doi : 10.26422 / MAT.A.2000.2.tar , ISSN 1515-4904 , MR 1802028 , Zbl 0963.35207. La impresionante bibliografía personal del autor sobre problemas de límites móviles y libres (M-FBP) para la ecuación de difusión de calor (H-DE), que contiene alrededor de 5900 referencias a obras, apareció en aproximadamente 884 tipos diferentes de publicaciones. Su objetivo declarado es tratar de dar una descripción completa de la literatura occidental existente en ingeniería matemática-física en este campo de investigación. Se ha recopilado casi todo el material sobre el tema, publicado después del histórico y primer artículo de Lamé-Clapeyron (1831). Las fuentes incluyen revistas científicas, actas de simposios o congresos, informes técnicos y libros.
enlaces externos
- Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Condición de Stefan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Problema de Stefan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Vasil'ev, FP (2001) [1994], "Problema de Stefan, inverso" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press