En matemáticas , un problema de límite libre ( problema FB) es una ecuación diferencial parcial que se debe resolver tanto para una función desconocida u como para un dominio desconocido Ω. El segmento Γ del límite de Ω que no se conoce al comienzo del problema es el límite libre .
Los FB surgen en varios modelos matemáticos que abarcan aplicaciones que van desde fenómenos físicos a económicos, financieros y biológicos, donde hay un efecto extra del medio. Este efecto es en general un cambio cualitativo del medio y, por tanto, una apariencia de transición de fase: hielo a agua, líquido a cristal, compra a venta (activos), activo a inactivo (biología), azul a rojo (juegos de colorear), de desorganizado a organizado (criticidad autoorganizada). Un aspecto interesante de tal criticidad es la llamada dinámica de pilas de arena (o DLA interno).
El ejemplo más clásico es el derretimiento del hielo: dado un bloque de hielo, se puede resolver la ecuación de calor dadas las condiciones iniciales y de contorno adecuadas para determinar su temperatura. Pero, si en alguna región la temperatura es mayor que el punto de fusión del hielo, este dominio estará ocupado por agua líquida. El límite formado a partir de la interfaz hielo / líquido se controla dinámicamente mediante la solución de la PDE.
Problemas de Stefan de dos fases
El derretimiento del hielo es un problema de Stefan para el campo de temperatura T , que se formula de la siguiente manera. Considere un medio que ocupa una región Ω que consta de dos fases, la fase 1 que está presente cuando T > 0 y la fase 2 que está presente cuando T <0. Sea que las dos fases tengan difusividades térmicas α 1 y α 2 . Por ejemplo, la difusividad térmica del agua es 1.4 × 10 −7 m 2 / s, mientras que la difusividad del hielo es 1.335 × 10 −6 m 2 / s.
En las regiones que constan únicamente de una fase, la temperatura está determinada por la ecuación de calor: en la región T > 0,
mientras que en la región T <0,
Esto está sujeto a las condiciones apropiadas en el límite (conocido) de Ω; Q representa fuentes o sumideros de calor.
Sea Γ t la superficie donde T = 0 en el tiempo t ; esta superficie es la interfaz entre las dos fases. Sea ν el vector normal unitario hacia el exterior de la segunda fase (sólida). La condición de Stefan determina la evolución de la superficie Γ dando una ecuación que gobierna la velocidad V de la superficie libre en la dirección ν , específicamente
donde L es el calor latente de fusión. Por T 1 nos referimos al límite del gradiente cuando x se acerca a Γ t desde la región T > 0, y para T 2 nos referimos al límite del gradiente cuando x se acerca a Γ t desde la región T <0.
En este problema, conocemos de antemano toda la región Ω pero solo conocemos la interfaz hielo-líquido Γ en el tiempo t = 0. Para resolver el problema de Stefan no solo tenemos que resolver la ecuación de calor en cada región, sino que también debemos rastrear el límite libre Γ.
El problema de Stefan de una fase corresponde a tomar α 1 o α 2 como cero; es un caso especial del problema de las dos fases. En la dirección de una mayor complejidad también podríamos considerar problemas con un número arbitrario de fases.
Problemas de obstáculos
Otro famoso problema de límites libres es el problema de los obstáculos , que tiene estrechas conexiones con la ecuación clásica de Poisson . Las soluciones de la ecuación diferencial
satisfacen un principio variacional, es decir, minimizan la funcionalidad
sobre todas las funciones u tomando el valor g en el límite. En el problema del obstáculo, imponemos una restricción adicional: minimizamos la E funcional sujeta a la condición
en Ω, para alguna función dada φ.
Defina el conjunto de coincidencias C como la región donde u = φ . Además, defina el conjunto de no coincidencia N = Ω \ C como la región donde u no es igual a φ , y el límite libre Γ como la interfaz entre los dos. Entonces u satisface el problema de los límites libres
en el límite de Ω, y
Tenga en cuenta que el conjunto de todas las funciones v tales que v ≤ φ es convexo. Donde el problema de Poisson corresponde a la minimización de un funcional cuadrático sobre un subespacio lineal de funciones, el problema de límite libre corresponde a la minimización sobre un conjunto convexo.
Conexión con desigualdades variacionales
Muchos problemas de límites libres se pueden considerar provechosamente como desigualdades variacionales por el bien del análisis. Para ilustrar este punto, primero pasamos a la minimización de una función F de n variables reales sobre un conjunto convexo C ; el minimizador x se caracteriza por la condición
Si x está en el interior de C , entonces el gradiente de F debe ser cero; si x está en el límite de C , el gradiente de F en x debe ser perpendicular al límite.
La misma idea se aplica a la minimización de un F funcional diferenciable en un subconjunto convexo de un espacio de Hilbert , donde el gradiente ahora se interpreta como una derivada variacional. Para concretar esta idea, la aplicamos al problema del obstáculo, que se puede escribir como
Esta formulación permite la definición de una solución débil: el uso de la integración por partes en la última ecuación da que
Esta definición solo requiere que u tenga una derivada, de la misma manera que la formulación débil de los problemas de valores de frontera elípticos.
Regularidad de las fronteras libres
En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales elípticas , se demuestra la existencia de una solución débil de una ecuación diferencial con razonable facilidad utilizando algunos argumentos de análisis funcional. Sin embargo, la solución débil exhibida radica en un espacio de funciones con menos derivadas de las que uno desearía; por ejemplo, para el problema de Poisson, podemos afirmar fácilmente que hay una solución débil que está en H 1 , pero puede que no tenga segundas derivadas. Luego, se aplican algunas estimaciones de cálculo para demostrar que la solución débil es de hecho suficientemente regular.
Para problemas de límites libres, esta tarea es más formidable por dos razones. Por un lado, las soluciones a menudo exhiben derivadas discontinuas a través del límite libre, mientras que pueden ser analíticas en cualquier vecindario alejado de él. En segundo lugar, también se debe demostrar la regularidad de la propia frontera libre. Por ejemplo, para el problema de Stefan, el límite libre es una superficie C 1/2 .
Problemas relacionados
Desde un punto de vista puramente académico, las fronteras libres pertenecen a una clase más amplia de problemas a los que generalmente se hace referencia como problemas sobredeterminados, o como lo abordaron David Kinderlehrer y Guido Stampacchia en su libro: El problema de emparejar datos de Cauchy. Otros FBP relacionados que se pueden mencionar son el problema de Pompeiu, las conjeturas de Schiffer. Vea los enlaces externos a continuación.
Referencias
- Alexiades, Vasilios (1993), Modelado matemático de procesos de fusión y congelación , Hemisphere Publishing Corporation, ISBN 1-56032-125-3
- Friedman, Avner (1982), Principios de variación y problemas de límites libres , John Wiley and Sons, Inc., ISBN 978-0-486-47853-1
- Kinderlehrer, David; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones , Academic Press, ISBN 0-89871-466-4
- Caffarelli, Luis; Salsa, Sandro (2005), Una aproximación geométrica a problemas de límites libres. Estudios de posgrado en matemáticas , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-3784-2
- Petrosyan, Arshak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularidad de los límites libres en problemas de tipo obstáculo. Estudios de posgrado en matemáticas , American Mathematical Society, Providence, RI, ISBN 0-8218-8794-7