Octaedro estrellado | |
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Visto como un compuesto de dos tetraedros regulares (rojo y amarillo) | |
Tipo | Compuesto regular |
Símbolo de coxeter | {4,3} [2 {3,3}] {3,4} [1] |
Símbolos de Schläfli | {{3,3}} a {4,3} ß {2,4} ßr {2,2} |
Diagramas de Coxeter | ∪ |
Núcleo de estelación | Octaedro |
Casco convexo | Cubo |
Índice | UC 4 , W 19 |
Poliedros | 2 tetraedros |
Caras | 8 triángulos |
Bordes | 12 |
Vértices | 8 |
Doble | Auto-dual |
Grupo de simetría Grupo Coxeter | O h , [4,3], orden de 48 D 4H , [4,2], orden de 16 D 2h , [2,2], orden 8 D 3d , [2 + , 6], orden 12 |
Subgrupo restringido a un componente | T d , [3,3], orden 24 D 2d , [2 + , 4], orden 8 D 2 , [2,2] + , orden 4 C 3v , [3], orden 6 |
El octaedro estrellado es la única estelación del octaedro . También se le llama stella octangula (en latín, "estrella de ocho puntas"), nombre que le dio Johannes Kepler en 1609, aunque era conocido por geómetras anteriores . Se representa en la Pacioli 's De Divina Proportione, 1509. [2]
Es el más simple de los cinco compuestos poliédricos regulares y el único compuesto regular de dos tetraedros . También es el menos denso de los compuestos poliédricos regulares, con una densidad de 2.
Puede verse como una extensión 3D del hexagrama : el hexagrama es una forma bidimensional formada por dos triángulos equiláteros superpuestos, simétricos centralmente entre sí, y de la misma manera el octaedro estrellado puede formarse a partir de dos tetraedros superpuestos simétricos centralmente. . Esto se puede generalizar a cualquier cantidad deseada de dimensiones superiores; la construcción equivalente de cuatro dimensiones es el compuesto de dos 5 celdas . También se puede ver como una de las etapas en la construcción de un copo de nieve de Koch 3D , una forma fractal formada por la unión repetida de tetraedros más pequeños a cada cara triangular de una figura más grande. La primera etapa de la construcción del copo de nieve de Koch es un único tetraedro central, y la segunda etapa, formada por la adición de cuatro tetraedros más pequeños a las caras del tetraedro central, es el octaedro estrellado.
Construcción
Las coordenadas cartesianas del octaedro estrellado son las siguientes: (± 1/2, ± 1/2, 0) (0, 0, ± 1 / √2) (± 1, 0, ± 1 / √2) (0, ± 1, ± 1 / √2)
El octaedro estrellado se puede construir de varias formas:
- Es una estelación del octaedro regular , que comparte los mismos planos faciales. (Ver modelo Wenninger W 19 ).
En perspectiva | Plano de estelación | La única estelación de un octaedro regular, con un plano de estelación en amarillo. |
- También es un compuesto poliedro regular , cuando se construye como la unión de dos tetraedros regulares (un tetraedro regular y su tetraedro dual ).
- Se puede obtener como un aumento del octaedro regular , agregando pirámides tetraédricas en cada cara. En esta construcción tiene la misma topología que el sólido catalán convexo , el triakis octaedro , que tiene pirámides mucho más cortas.
- Es una faceta del cubo , compartiendo la disposición de los vértices .
- Puede verse como un antiprisma {4/2} ; siendo {4/2} un tetragrama, un compuesto de dos digones duales , y el tetraedro visto como un antiprisma digonal, esto puede verse como un compuesto de dos antiprismas digonales .
- Puede verse como una red de una pirámide octaédrica de cuatro dimensiones , que consta de un octaedro central rodeado por ocho tetraedros.
Facetado de un cubo | Un único triángulo diagonal facetado en rojo. |
Conceptos relacionados
Se puede construir un compuesto de dos tetraedros esféricos, como se ilustra.
Los dos tetraedros de la vista compuesta del octaedro estrellado son "desmicos", lo que significa que (cuando se interpreta como una línea en el espacio proyectivo ) cada borde de un tetraedro cruza dos bordes opuestos del otro tetraedro. Uno de estos dos cruces es visible en el octaedro estrellado; el otro cruce ocurre en un punto en el infinito del espacio proyectivo, entre dos bordes paralelos de los dos tetraedros. Estos dos tetraedros se pueden completar en un sistema desmico de tres tetraedros, donde el tercer tetraedro tiene como sus cuatro vértices los tres puntos de cruce en el infinito y el centroide de los dos tetraedros finitos. Los mismos doce vértices tetraédricos también forman los puntos de la configuración de Reye .
Los números de stella octangula son números figurados que cuentan el número de bolas que se pueden organizar en la forma de un octaedro estrellado. Ellos son
- 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, .... (secuencia A007588 en la OEIS )
En la cultura popular
El octaedro estrellado aparece con varios otros poliedros y compuestos poliédricos en la impresión " Estrellas " de MC Escher , [3] y proporciona la forma central en el Planetoide doble de Escher (1949). [4]
Algunos místicos modernos han asociado esta forma con el "merkaba", [5] que según ellos es un "campo de energía contrarrotante" llamado de una palabra del antiguo Egipto. [6] Sin embargo, la palabra "merkaba" es en realidad hebrea , y más propiamente se refiere a un carro en las visiones de Ezequiel . [7] También se ha observado con frecuencia el parecido entre esta forma y la estrella bidimensional de David . [8]
El octaedro estrellado es también la forma general del dron "Fantasma" que se encuentra en el videojuego Destiny .
El proyecto musical Miracle Musical también utiliza con frecuencia un octaedro estrellado en blanco y negro en el arte oficial, incluso haciendo referencia a esa versión de su logotipo en la canción "Black Rainbows".
Galería
Referencias
- ^ HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , 3.6 Los cinco compuestos regulares , pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic sólidos , pp.96-104
- ^ Barnes, John (2009), "Formas y sólidos", Gems of Geometry , Springer, págs. 25–56, doi : 10.1007 / 978-3-642-05092-3_2 , ISBN 978-3-642-05091-6.
- ^ Hart, George W. (1996), "Los poliedros de MC Escher" , Poliedros virtuales.
- ^ Coxeter, HSM (1985), "Una reseña de libro especial: MC Escher: Su vida y obra gráfica completa", The Mathematical Intelligencer , 7 (1): 59–69, doi : 10.1007 / BF03023010. Ver en particular la p. 61.
- ^ Dannelley, Richard (1995), Sedona: Beyond the Vortex: Activating the Planetary Ascension Program with Sacred Geometry, the Vortex, and the Merkaba , Light Technology Publishing, p. 14, ISBN 9781622336708
- ^ Melquisedec, Drunvalo (2000), El antiguo secreto de la flor de la vida: una transcripción editada del taller La flor de la vida presentado en vivo a la Madre Tierra de 1985 a 1994 -, Volumen 1 , Light Technology Publishing, p. 4, ISBN 9781891824173
- ^ Patzia, Arthur G .; Petrotta, Anthony J. (2010), Diccionario de bolsillo de estudios bíblicos: más de 300 términos claramente y concisamente definidos , Serie IVP Pocket Reference, InterVarsity Press, p. 78, ISBN 9780830867028
- ^ Brisson, David W. (1978), Hipergrafía: visualización de relaciones complejas en arte, ciencia y tecnología , Westview Press para la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, p. 220,
Stella octangula es el análogo tridimensional de la Estrella de David
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Stella Octangula" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Compuesto de dos tetraedros" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Compuesto 3D" .