En matemáticas , los polinomios de Stirling son una familia de polinomios que generalizan secuencias importantes de números que aparecen en combinatoria y análisis , que están estrechamente relacionados con los números de Stirling , los números de Bernoulli y los polinomios de Bernoulli generalizados . Hay múltiples variantes de la secuencia polinomial de Stirling que se consideran a continuación, en particular, la forma de secuencia de Sheffer de la secuencia,, definido característicamente a través de la forma especial de su función generadora exponencial, y los polinomios de Stirling (convolución) ,, que también satisfacen una función generadora ordinaria característica y que son útiles para generalizar los números de Stirling (de ambos tipos) a entradas arbitrarias de valor complejo . Consideramos la variante del " polinomio de convolución " de esta secuencia y sus propiedades en segundo lugar en la última subsección del artículo. Aún otras variantes de los polinomios de Stirling se estudian en los enlaces complementarios a los artículos dados en las referencias.
Para enteros no negativos k , los polinomios de Stirling, S k ( x ), son una secuencia de Sheffer para [1] definido por la función de generación exponencial
Los polinomios de Stirling son un caso especial de los polinomios de Nørlund (o polinomios de Bernoulli generalizados ) [2] cada uno con función de generación exponencial
dado por la relación .
Los primeros 10 polinomios de Stirling se dan en la siguiente tabla:
k | S k ( x ) |
---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
5 | |
6 | |
7 | |
8 | |
9 | |
Otra variante más de los polinomios de Stirling se considera en [3] (ver también la subsección sobre polinomios de convolución de Stirling más abajo). En particular, el artículo de I. Gessel y RP Stanley define las secuencias polinómicas de Stirling modificadas, y dónde son los números de Stirling sin signo del primer tipo , en términos de los dos triángulos de números de Stirling para enteros no negativos. Para fijo, ambas cosas y son polinomios de la entrada cada uno de los grados y con coeficiente principal dado por el término factorial doble.
Debajo denotar los polinomios de Bernoulli ylos números de Bernoulli bajo la convención denota un número de Stirling del primer tipo ; ydenota números de Stirling del segundo tipo .
- Valores especiales:
- Si y entonces: [4]
y: - La secuencia es de tipo binomial , ya que
Además, esta recursividad básica tiene: - Las representaciones explícitas que involucran números de Stirling se pueden deducir con la fórmula de interpolación de Lagrange :
Aquí, son polinomios de Laguerre . - Las siguientes relaciones también son válidas:
- Al diferenciar la función generadora, se deduce fácilmente que
Definición y ejemplos
Otra variante de la secuencia polinomial de Stirling corresponde a un caso especial de los polinomios de convolución estudiados por el artículo de Knuth [5] y en la referencia Concrete Mathematics . Primero definimos estos polinomios a través de los números de Stirling del primer tipo como
De ello se deduce que estos polinomios satisfacen la siguiente relación de recurrencia dada por
Estos polinomios de " convolución " de Stirling se pueden utilizar para definir los números de Stirling, y , para enteros y valores complejos arbitrarios de. La siguiente tabla proporciona varios casos especiales de estos polinomios de Stirling para los primeros.
norte | σ n ( x ) |
---|
0 | |
1 | |
2 | |
3 | |
4 | |
Funciones generadoras
Esta variante de la secuencia polinomial de Stirling tiene funciones generadoras ordinarias particularmente agradables de las siguientes formas:
De manera más general, si es una serie de potencias que satisface , tenemos eso
También tenemos la identidad de la serie relacionada [6]
y las funciones generadoras relacionadas con el polinomio de Stirling (Sheffer) dadas por
Propiedades y relaciones
Para enteros y , estos polinomios satisfacen las dos fórmulas de convolución de Stirling dadas por
y
Cuándo , también tenemos que los polinomios, , se definen a través de sus relaciones con los números de Stirling
y sus relaciones con los números de Bernoulli dados por