La definición original de los números de Stirling del primer tipo era algebraica: [ cita requerida ] son los coeficientes s ( n , k ) en la expansión del factorial descendente
en potencias de la variable x :
Por ejemplo, , conduciendo a los valores , , y .
Posteriormente, se descubrió que los valores absolutos | s ( n , k ) | de estos números son iguales al número de permutaciones de ciertos tipos. Estos valores absolutos, que se conocen como números de Stirling sin signo del primer tipo, a menudo se denotan o . Pueden definirse directamente como el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos . Por ejemplo, de lapermutaciones de tres elementos, hay una permutación con tres ciclos (la permutación de identidad , dada en notación de una línea poro en notación cíclica por), tres permutaciones con dos ciclos (, , y ) y dos permutaciones con un ciclo ( y ). Por lo tanto,, y . Se puede ver que estos concuerdan con el cálculo anterior de por .
Los números de Stirling sin signo también se pueden definir algebraicamente, como los coeficientes del factorial ascendente :
- .
Las notaciones utilizadas en esta página para los números de Stirling no son universales y pueden entrar en conflicto con las notaciones de otras fuentes. (La notación de corchetestambién es una notación común para los coeficientes gaussianos ).
Otro ejemplo
La imagen de la derecha muestra que : el grupo simétrico de 4 objetos tiene 3 permutaciones de la forma
- (que tiene 2 órbitas, cada una de tamaño 2),
y 8 permutaciones de la forma
- (que tiene 1 órbita de tamaño 3 y 1 órbita de tamaño 1).
Señales
Los signos de los números de Stirling (con signo) del primer tipo son predecibles y dependen de la paridad de n - k . En particular,
Identidades simples
Tenga en cuenta que aunque
tenemos si n > 0
y
- si k > 0, o más generalmente si k > n .
También
y
Relaciones similares que involucran los números de Stirling son válidas para los polinomios de Bernoulli . Muchas relaciones para los números de Stirling sombrean relaciones similares en los coeficientes binomiales . El estudio de estas "relaciones de sombras" se denomina cálculo umbral y culmina en la teoría de las secuencias de Sheffer . Las generalizaciones de los números de Stirling de ambos tipos a entradas arbitrarias de valores complejos pueden extenderse a través de las relaciones de estos triángulos con los polinomios de convolución de Stirling . [1]
Pruebas combinatorias -
Estas identidades pueden derivarse enumerando permutaciones directamente. Por ejemplo, una permutación de n elementos con n - 3 ciclos debe tener una de las siguientes formas:
- n - 6 puntos fijos y tres dos ciclos
- n - 5 puntos fijos, uno de tres ciclos y uno de dos ciclos, o
- n - 4 puntos fijos y un ciclo de cuatro.
Los tres tipos se pueden enumerar de la siguiente manera:
- elija los seis elementos que entran en los dos ciclos, descompóngalos en dos ciclos y tenga en cuenta que el orden de los ciclos no es importante:
- elija los cinco elementos que entran en el ciclo de tres y el ciclo de dos, elija los elementos del ciclo de tres y tenga en cuenta que tres elementos generan dos ciclos de tres:
- elija los cuatro elementos del cuatro ciclos y tenga en cuenta que cuatro elementos generan seis cuatro ciclos:
Suma las tres contribuciones para obtener
Tenga en cuenta que todas las pruebas combinatorias anteriores utilizan binomios o multinomios de .
Por tanto, si es primo, entonces:
por .
Otras relaciones
Expansiones para k fijo
Dado que los números de Stirling son los coeficientes de un polinomio con raíces 0, 1, ..., n - 1 , se tiene por las fórmulas de Vieta que
En otras palabras, los números de Stirling del primer tipo están dados por polinomios simétricos elementales evaluados en 0, 1, ..., n - 1 . [2] De esta forma, las identidades simples dadas anteriormente toman la forma
y así. Se pueden producir formas alternativas para los números de Stirling del primer tipo con un enfoque similar precedido por alguna manipulación algebraica: ya que
de las fórmulas de Newton se deduce que se pueden expandir los números de Stirling del primer tipo en términos de números armónicos generalizados . Esto produce identidades como
donde H n es el número armónico y H n ( m ) es el número armónico generalizado
Estas relaciones se pueden generalizar para dar
donde w ( n , m ) se define recursivamente en términos de los números armónicos generalizados por
(Aquí δ es la función delta de Kronecker yes el símbolo de Pochhammer .) [3]
Para fijo estas expansiones de números armónicos ponderados son generadas por la función generadora
donde la notación significa extracción del coeficiente de de la siguiente serie formal de potencias (ver los polinomios de Bell no exponenciales y la sección 3 de [4] ).
De manera más general, las sumas relacionadas con estas expansiones de números armónicos ponderados de los números de Stirling del primer tipo pueden definirse mediante transformaciones generalizadas de series zeta de funciones generadoras . [5] [6]
También se pueden "invertir" las relaciones para estos números de Stirling dados en términos de - Números armónicos de orden para escribir los números armónicos generalizados de orden entero en términos de sumas ponderadas de términos que involucran los números de Stirling del primer tipo. Por ejemplo, cuando los números armónicos de segundo y tercer orden están dados por
De manera más general, se puede invertir la función de generación del polinomio de Bell para los números de Stirling expandidos en términos de-ordenar números armónicos para obtener los números enteros
Sumas relacionadas con factoriales
Para todos entero positivo m y n , uno tiene
dónde es el factorial ascendente. [7] Esta fórmula es un resultado dual de Spivey para los números de Bell . [7]
Otras fórmulas relacionadas que involucran los factoriales descendentes, los números de Stirling del primer tipo y, en algunos casos, los números de Stirling del segundo tipo incluyen lo siguiente: [8]
Relaciones de inversión y la transformada de Stirling
Para cualquier par de secuencias, y , relacionado por una fórmula de número de Stirling de suma finita dada por
para todos los enteros , tenemos una fórmula de inversión correspondiente para dada por
Estas relaciones de inversión entre las dos secuencias se traducen en ecuaciones funcionales entre la secuencia de funciones generadoras exponenciales dadas por la transformación de Stirling (función generadora) como
y
Los operadores diferenciales y están relacionados por las siguientes fórmulas para todos los números enteros : [9]
Otro par de relaciones de " inversión " que involucran los números de Stirling relacionan las diferencias hacia adelante y las derivadas de una función,, que es analítico para todos por las fórmulas [10]
Congruencias
La siguiente identidad de congruencia puede demostrarse mediante un enfoque basado en funciones generadoras : [11]
Los resultados más recientes que proporcionan fracciones J de tipo Jacobi que generan la función factorial única y productos relacionados con el factorial generalizados conducen a otros nuevos resultados de congruencia para los números de Stirling del primer tipo. [12] Por ejemplo, módulo de trabajo podemos probar eso
y modulo de trabajo podemos probar de manera similar que
De manera más general, para enteros fijos si definimos las raíces ordenadas
entonces podemos expandir las congruencias para estos números de Stirling definidos como los coeficientes
en el siguiente formulario donde las funciones, , denota polinomios fijos de grado en para cada , , y :
La sección 6.2 de la referencia citada anteriormente proporciona expansiones más explícitas relacionadas con estas congruencias para la -ordenar números armónicos y para los productos factoriales generalizados ,. En los ejemplos anteriores, la notacióndenota la convención de Iverson .
Funciones generadoras
Se puede derivar una variedad de identidades manipulando la función generadora :
Usando la igualdad
resulta que
(Esta identidad es válida para las series formales , y la suma converge en el plano complejo para | z | <1.) Otras identidades surgen intercambiando el orden de suma, teniendo derivados, haciendo sustituciones para z o u , etc. Por ejemplo , podemos derivar: [13]
y
o
y
dónde y son la función zeta de Riemann y la función zeta de Hurwitz respectivamente, e incluso evalúan esta integral
dónde es la función gamma . También existen expresiones más complicadas para las funciones zeta que involucran los números de Stirling. Uno, por ejemplo, tiene
Esta serie generaliza la serie de Hasse para la función zeta de Hurwitz (obtenemos la serie de Hasse estableciendo k = 1). [14] [15]
Asintóticos
Se aplica la siguiente estimación dada en términos de la constante gamma de Euler : [16]
Para fijo tenemos la siguiente estimación como :
También podemos aplicar los métodos asintóticos del punto silla del artículo de Temme [17] para obtener otras estimaciones para los números de Stirling del primer tipo. Estas estimaciones son más complicadas y complicadas de expresar. No obstante, damos un ejemplo. En particular, definimos la función log gamma ,, cuyas derivadas de orden superior se dan en términos de funciones de poligamma como
donde consideramos el punto de silla (único) de la función a ser la solución de Cuándo . Entonces para y las constantes
tenemos la siguiente estimación asintótica como :
Sumas finitas
Dado que las permutaciones están divididas por número de ciclos, uno tiene
La identidad
se puede probar con las técnicas de la página de números de Stirling y funciones generadoras exponenciales .
La tabla de la sección 6.1 de Matemáticas concretas proporciona una plétora de formas generalizadas de sumas finitas que involucran números de Stirling. Varias sumas finitas particulares relevantes para este artículo incluyen
Otras identidades de suma finita que involucran los números de Stirling con signo del primer tipo que se encuentran, por ejemplo, en el Manual de funciones matemáticas del NIST (Sección 26.8) incluyen las siguientes sumas: [18]
Además, si definimos los números eulerianos de segundo orden por la relación de recurrencia triangular [19]
llegamos a la siguiente identidad relacionada con la forma de los polinomios de convolución de Stirling que se pueden emplear para generalizar ambos triángulos de números de Stirling a valores arbitrarios reales o de valor complejo de la entrada:
Las expansiones particulares de la identidad anterior conducen a las siguientes identidades que expanden los números de Stirling del primer tipo para los primeros valores pequeños de :
Las herramientas de software para trabajar con sumas finitas que involucran números Stirling y números Eulerianos son proporcionadas por las utilidades del paquete RISC Stirling.m en Mathematica . Otros paquetes de software para adivinar fórmulas para secuencias (y sumas de secuencias polinomiales) que involucran números de Stirling y otros triángulos especiales están disponibles para Mathematica y Sage aquí y aquí , respectivamente. [20]
Además, las series infinitas que involucran las sumas finitas con los números de Stirling a menudo conducen a funciones especiales. Por ejemplo [13] [21]
o
y
o incluso
donde γ m son las constantes de Stieltjes y δ m , 0 representa la función delta de Kronecker .
Fórmula explícita
El número de Stirling s (n, np) se puede encontrar en la fórmula [22]
dónde La suma es una suma de todas las particiones de p .
Otra expansión de suma anidada exacta para estos números de Stirling se calcula mediante polinomios simétricos elementales correspondientes a los coeficientes en de un producto de la forma . En particular, vemos que
Las identidades de Newton combinadas con las expansiones anteriores pueden usarse para dar una prueba alternativa de las expansiones ponderadas que involucran los números armónicos generalizados ya mencionados anteriormente .
Otra fórmula explícita para potencias recíprocas de n viene dada por la siguiente identidad para enteros: [23]
Observe que esta última identidad implica inmediatamente relaciones entre las funciones de polilogaritmo , las funciones generadoras exponenciales de números de Stirling dadas anteriormente y la serie de potencias basada en números de Stirling para las funciones de polilogaritmo de Nielsen generalizadas .
Relaciones con la función logaritmo natural
La n- ésima derivada de la μ- ésima potencia del logaritmo natural implica los números de Stirling con signo del primer tipo:
dónde es el factorial descendente , yes el número de Stirling firmado.
Puede demostrarse mediante inducción matemática .
Hay muchas nociones de números de Stirling generalizados que pueden definirse (según la aplicación) en varios contextos combinatorios diferentes. En la medida en que los números de Stirling del primer tipo corresponden a los coeficientes de las distintas expansiones polinomiales de la función factorial simple ,, podemos extender esta noción para definir relaciones de recurrencia triangular para clases más generales de productos.
En particular, para cualquier función aritmética fija y parámetros simbólicos , productos factoriales generalizados relacionados de la forma
puede estudiarse desde el punto de vista de las clases de números de Stirling generalizados del primer tipo definidos por los siguientes coeficientes de las potencias de en las expansiones de y luego por la siguiente relación de recurrencia triangular correspondiente:
Estos coeficientes satisfacen una serie de propiedades análogas a las de los números de Stirling del primer tipo, así como las relaciones de recurrencia y las ecuaciones funcionales relacionadas con los números f-armónicos ,. [24]
Un caso especial de estos coeficientes entre corchetes correspondientes a nos permite expandir las funciones factoriales múltiples o multifactoriales como polinomios en(ver generalizaciones del doble factorial ). [25]
Los números de Stirling de ambos tipos, los coeficientes binomiales , y el primer y segundo orden, los números de Euler son definidos por los casos especiales de un triangular súper recurrencia de la forma
para enteros y donde cuando sea o . En este sentido, la forma de los números de Stirling del primer tipo también puede generalizarse mediante esta superrecurrencia parametrizada para escalares fijos. (no todo cero).