En econometría , el modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva ( ARCH ) es un modelo estadístico para datos de series de tiempo que describe la varianza del término de error actual o la innovación en función de los tamaños reales de los términos de error de los períodos de tiempo anteriores; [1] a menudo la varianza está relacionada con los cuadrados de las innovaciones anteriores . El modelo ARCH es apropiado cuando la varianza del error en una serie de tiempo sigue un modelo autorregresivo (AR); si una media móvil autorregresiva(ARMA) se asume para la varianza del error, el modelo es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada ( GARCH ). [2]
Los modelos ARCH se emplean comúnmente para modelar series de tiempo financieras que exhiben volatilidad variable en el tiempo y agrupamiento de volatilidad , es decir, períodos de oscilaciones intercalados con períodos de relativa calma. A veces se considera que los modelos tipo ARCH pertenecen a la familia de los modelos de volatilidad estocástica , aunque esto es estrictamente incorrecto, ya que en el momento t la volatilidad está completamente predeterminada (determinista) dados los valores previos. [3]
Especificación del modelo ARCH ( q )
Para modelar una serie de tiempo usando un proceso ARCH, deje denotar los términos de error (residuos de retorno, con respecto a un proceso medio), es decir, los términos de la serie. Estas se dividen en una pieza estocástica y una desviación estándar dependiente del tiempo caracterizar el tamaño típico de los términos de modo que
La variable aleatoria es un proceso de ruido blanco fuerte . Las series está modelado por
- ,
- dónde y .
Un modelo ARCH ( q ) se puede estimar utilizando mínimos cuadrados ordinarios . Engle (1982) propuso una metodología para probar la longitud del retardo de los errores ARCH utilizando la prueba del multiplicador de Lagrange . Este procedimiento es el siguiente:
- Estimar el modelo autorregresivo de mejor ajuste AR ( q ).
- Obtenga los cuadrados del error y hacer una regresión en valores constantes y q rezagados:
- donde q es la longitud de los rezagos ARCH.
- La hipótesis nula es que, en ausencia de componentes ARCH, tenemos para todos . La hipótesis alternativa es que, en presencia de componentes ARCH, al menos uno de los estimadoslos coeficientes deben ser significativos. En una muestra de T residuales bajo la hipótesis nula de que no hay errores ARCH, el estadístico de prueba T'R² siguedistribución con q grados de libertad, donde es el número de ecuaciones en el modelo que se ajusta a los residuos frente a los rezagos (es decir, ). Si T'R² es mayor que el valor de la tabla Chi-cuadrado, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que hay un efecto ARCH en el modelo ARMA . Si T'R² es menor que el valor de la tabla de Chi-cuadrado, no rechazamos la hipótesis nula.
GARCH
Si se supone un modelo de promedio móvil autorregresivo (ARMA) para la varianza del error, el modelo es un modelo de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada (GARCH). [2]
En ese caso, el modelo GARCH ( p , q ) (donde p es el orden de los términos GARCHy q es el orden de los términos ARCH ), siguiendo la notación del artículo original, viene dada por
Generalmente, cuando se prueba la heterocedasticidad en modelos econométricos, la mejor prueba es la prueba de White . Sin embargo, cuando se trata de datos de series de tiempo , esto significa probar los errores ARCH y GARCH.
La media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) es un modelo alternativo en una clase separada de modelos de suavizado exponencial. Como alternativa al modelo GARCH, tiene algunas propiedades atractivas, como un mayor peso sobre las observaciones más recientes, pero también inconvenientes, como un factor de desintegración arbitrario que introduce subjetividad en la estimación.
Especificación del modelo GARCH ( p , q )
La longitud de retardo p de un proceso GARCH ( p , q ) se establece en tres pasos:
- Estimar el modelo AR ( q ) que mejor se ajusta
- .
- Calcule y grafique las autocorrelaciones de por
- La asintótica, es decir, para muestras grandes, la desviación estándar de es . Los valores individuales que son mayores que esto indican errores GARCH. Para estimar el número total de rezagos, use la prueba de Ljung-Box hasta que el valor de estos sea menor que, digamos, 10% significativo. El estadístico Q de Ljung-Box siguedistribución con n grados de libertad si los residuos al cuadradono están correlacionados. Se recomienda considerar hasta valores T / 4 de n . La hipótesis nula establece que no hay errores ARCH o GARCH. Por lo tanto, rechazar el nulo significa que existen tales errores en la varianza condicional .
NGARCH
NAGARCH
GARCH asimétrico no lineal (1,1) ( NAGARCH ) es un modelo con la especificación: [6] [7]
- ,
- dónde y , que asegura la no negatividad y la estacionariedad del proceso de varianza.
Para devoluciones de acciones, parámetro generalmente se estima que es positivo; en este caso, refleja un fenómeno comúnmente denominado "efecto apalancamiento", lo que significa que los rendimientos negativos aumentan la volatilidad futura en una cantidad mayor que los rendimientos positivos de la misma magnitud. [6] [7]
Este modelo no debe confundirse con el modelo NARCH, junto con la extensión NGARCH, introducida por Higgins y Bera en 1992. [8]
IGARCH
La heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada integrada (IGARCH) es una versión restringida del modelo GARCH, donde los parámetros persistentes suman uno e importa una raíz unitaria en el proceso GARCH. La condición para esto es
.
EGARCH
El modelo heterocedástico condicional autorregresivo generalizado exponencial (EGARCH) de Nelson y Cao (1991) es otra forma del modelo GARCH. Formalmente, un EGARCH (p, q):
dónde , es la varianza condicional ,, , , y son coeficientes. puede ser una variable normal estándar o provenir de una distribución de error generalizada . La formulación para permite el signo y la magnitud de tener efectos separados sobre la volatilidad. Esto es particularmente útil en un contexto de precios de activos. [9] [10]
Desde puede ser negativo, no hay restricciones de signo para los parámetros.
GARCH-M
El modelo GARCH en la media (GARCH-M) agrega un término de heterocedasticidad en la ecuación de la media. Tiene la especificación:
El residual Se define como:
QGARCH
El modelo Quadratic GARCH (QGARCH) de Sentana (1995) se utiliza para modelar los efectos asimétricos de los choques positivos y negativos.
En el ejemplo de un modelo GARCH (1,1), el proceso residual es
dónde es iid y
GJR-GARCH
Similar a QGARCH, el modelo Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) de Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) también modela la asimetría en el proceso ARCH. La sugerencia es modelar dónde es iid, y
dónde Si , y Si .
Modelo TGARCH
El modelo Threshold GARCH (TGARCH) de Zakoian (1994) es similar a GJR GARCH. La especificación se basa en la desviación estándar condicional en lugar de la varianza condicional :
dónde Si , y Si . Igualmente, Si , y Si .
fGARCH
El modelo fGARCH de Hentschel , [11] también conocido como Family GARCH , es un modelo ómnibus que anida una variedad de otros modelos GARCH simétricos y asimétricos populares, incluidos APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH, etc.
COGARCH
En 2004, Claudia Klüppelberg , Alexander Lindner y Ross Maller propusieron una generalización en tiempo continuo del proceso GARCH (1,1) en tiempo discreto. La idea es comenzar con las ecuaciones del modelo GARCH (1,1)
y luego para reemplazar el fuerte proceso de ruido blanco por los incrementos infinitesimales de un proceso Lévy , y el proceso de ruido al cuadrado por los incrementos , dónde
es la parte puramente discontinua del proceso de variación cuadrática de. El resultado es el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas :
donde los parámetros positivos , y están determinados por , y . Ahora dada alguna condición inicial, el sistema anterior tiene una solución única en el camino que luego se llama el modelo GARCH de tiempo continuo ( COGARCH ). [12]
ZD-GARCH
A diferencia del modelo GARCH, el modelo GARCH Zero-Drift (ZD-GARCH) de Li, Zhang, Zhu y Ling (2018) [13] deja el término de derivaen el modelo GARCH de primer orden. El modelo ZD-GARCH es para modelar, dónde es iid, y
El modelo ZD-GARCH no requiere y, por lo tanto, anida el modelo de media móvil ponderada exponencialmente (EWMA) en " RiskMetrics ". Desde el término de deriva, el modelo ZD-GARCH siempre es no estacionario y sus métodos de inferencia estadística son bastante diferentes de los del modelo GARCH clásico. Según los datos históricos, los parámetros y puede estimarse mediante el método QMLE generalizado .
GARCH espacial
Los procesos espaciales GARCH de Otto, Schmid y Garthoff (2018) [14] se consideran el equivalente espacial de los modelos de heterocedasticidad condicional autorregresiva generalizada temporal (GARCH). A diferencia del modelo ARCH temporal, en el que la distribución se conoce dado el conjunto de información completo para los períodos anteriores, la distribución no es sencilla en el entorno espacial y espacio-temporal debido a la interdependencia entre ubicaciones espaciales vecinas. El modelo espacial viene dado por y
dónde denota el -ésima ubicación espacial y se refiere a -ésima entrada de una matriz de ponderación espacial y por . La matriz de ponderación espacial define qué ubicaciones se consideran adyacentes.
GARCH impulsado por el proceso gaussiano
En una línea diferente, la comunidad de aprendizaje automático ha propuesto el uso de modelos de regresión de procesos gaussianos para obtener un esquema GARCH. [15] Esto da como resultado un esquema de modelado no paramétrico, que permite: (i) robustez avanzada al sobreajuste, ya que el modelo margina sus parámetros para realizar inferencias, bajo una lógica de inferencia bayesiana; y (ii) capturar dependencias altamente no lineales sin aumentar la complejidad del modelo.
Referencias
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Aún no está claro en la literatura financiera que las propiedades asimétricas de las variaciones se deban al apalancamiento cambiante. El nombre "efecto palanca" se utiliza simplemente porque es popular entre los investigadores cuando se refiere a un fenómeno de este tipo.
- ^ a b Posedel, Petra (2006). "Análisis del tipo de cambio y fijación de precios de las opciones de divisas en el mercado croata: el modelo de Ngarch como alternativa al modelo de Scholes negro" (PDF) . Teoría y práctica financiera . 30 (4): 347–368.
Se presta especial atención al modelo mediante el parámetro de asimetría [theta (θ)] que describe la correlación entre los rendimientos y la varianza. 6 ...
6 En el caso de analizar los rendimientos de las acciones, el valor positivo de [theta] refleja el efecto de apalancamiento empíricamente bien conocido que indica que un movimiento a la baja en el precio de una acción causa más un aumento en la varianza más que un mismo valor movimiento a la baja en el precio de una acción, lo que significa que los rendimientos y la variación están correlacionados negativamente - ^ Higgins, ML; Bera, AK (1992). "Una clase de modelos de arcos no lineales". Revista económica internacional . 33 (1): 137-158. doi : 10.2307 / 2526988 . JSTOR 2526988 .
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Otras lecturas
- Bollerslev, Tim; Russell, Jeffrey; Watson, Mark (mayo de 2010). "Capítulo 8: Glosario de ARCH (GARCH)" (PDF) . Econometría de volatilidad y series temporales: ensayos en honor a Robert Engle (1ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 137-163. ISBN 9780199549498.
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