Un modelo de volatilidad local , en finanzas matemáticas e ingeniería financiera , es uno que trata la volatilidad como una función tanto del nivel de activos actual y de tiempo . Como tal, un modelo de volatilidad local es una generalización del modelo de Black-Scholes , donde la volatilidad es una constante (es decir, una función trivial de y ).
Formulación
En las finanzas matemáticas , se supone que el activo S t que subyace a un derivado financiero sigue una ecuación diferencial estocástica de la forma
- ,
dónde es la tasa libre de riesgo instantánea , que da una dirección local promedio a la dinámica, yes un proceso de Wiener , que representa la entrada de aleatoriedad en la dinámica. La amplitud de esta aleatoriedad se mide por la volatilidad instantánea. En el modelo más simple, es decir, el modelo de Black-Scholes,se supone que es constante; en realidad, la volatilidad realizada de un subyacente varía con el tiempo.
Cuando dicha volatilidad tiene una aleatoriedad propia, a menudo descrita por una ecuación diferente impulsada por una W diferente , el modelo anterior se denomina modelo de volatilidad estocástica . Y cuando dicha volatilidad es simplemente una función del nivel de activos actual S t y del tiempo t , tenemos un modelo de volatilidad local. El modelo de volatilidad local es una simplificación útil del modelo de volatilidad estocástica .
La "volatilidad local" es, por tanto, un término utilizado en las finanzas cuantitativas para denotar el conjunto de coeficientes de difusión,, que sean coherentes con los precios de mercado de todas las opciones sobre un subyacente determinado. Este modelo se utiliza para calcular valoraciones de opciones exóticas que son consistentes con los precios observados de las opciones de vainilla .
Desarrollo
El concepto de volatilidad local se desarrolló cuando Bruno Dupire [1] y Emanuel Derman e Iraj Kani [2] señalaron que existe un proceso de difusión único consistente con las densidades neutrales al riesgo derivadas de los precios de mercado de las opciones europeas.
Derman y Kani describieron e implementaron una función de volatilidad local para modelar la volatilidad instantánea. Usaron esta función en cada nodo en un modelo de precios de opciones binomiales . El árbol produjo con éxito valoraciones de opciones consistentes con todos los precios de mercado a través de huelgas y vencimientos. [2] Por tanto, el modelo Derman-Kani se formuló con escalones discretos de tiempo y precio de las acciones. (Derman y Kani produjeron lo que se llama un " árbol binomial implícito "; con Neil Chriss lo ampliaron a un árbol trinomial implícito . El proceso de ajuste del árbol binomial implícito era numéricamente inestable).
Las ecuaciones clave de tiempo continuo utilizadas en los modelos de volatilidad local fueron desarrolladas por Bruno Dupire en 1994. La ecuación de Dupire establece
Existen pocas parametrizaciones conocidas de la superficie de volatilidad basadas en el modelo de Heston (Schönbucher, SVI y gSVI), así como sus metodologías de desarbitraje. [3]
Derivación
Dado el precio del activo gobernado por la SDE neutral al riesgo
La probabilidad de transición condicional a satisface la ecuación directa de Kolmogorov (también conocida como ecuación de Fokker-Planck )
- [ aclaración necesaria ]
Debido al teorema de precios de Martingala , el precio de una opción de compra con vencimiento y huelga es
Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a
y reemplazar en la fórmula el precio de una opción de compra y reorganizar los términos
Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a dos veces
Diferenciar el precio de una opción de compra con respecto a rendimientos
usando la ecuación Forward Kolmogorov
integrando por partes la primera integral una vez y la segunda integral dos veces
utilizando las fórmulas derivadas diferenciando el precio de una opción de compra con respecto a
Usar
Los modelos de volatilidad local son útiles en cualquier mercado de opciones en el que la volatilidad del subyacente sea predominantemente una función del nivel de los derivados subyacentes de tasas de interés, por ejemplo. Las volatilidades locales invariantes en el tiempo son supuestamente inconsistentes con la dinámica de la superficie de volatilidad implícita del índice de acciones, [4] [5] pero ver Crepey, S (2004). "Riesgo Vega de cobertura delta". Finanzas cuantitativas . 4 (5): 559–579. doi : 10.1080 / 14697680400000038 ., quien afirma que dichos modelos brindan la mejor cobertura promedio para las opciones de índices de acciones. No obstante, los modelos de volatilidad local son útiles en la formulación de modelos de volatilidad estocástica . [6]
Los modelos de volatilidad local tienen una serie de características atractivas. [7] Dado que la única fuente de aleatoriedad es el precio de las acciones, los modelos de volatilidad locales son fáciles de calibrar. Se desarrollan numerosos métodos de calibración para hacer frente a los procesos de McKean-Vlasov, incluido el enfoque de partículas y contenedores más utilizado. [8] Además, conducen a mercados completos donde la cobertura puede basarse únicamente en el activo subyacente. Sin embargo, el enfoque no paramétrico general de Dupire es problemático, ya que es necesario preinterpolar arbitrariamente la superficie de volatilidad implícita de entrada antes de aplicar el método. Se han propuesto enfoques paramétricos alternativos, en particular los modelos de volatilidad local dinámica de mezcla altamente manejable de Damiano Brigo y Fabio Mercurio . [9] [10]
Dado que en los modelos de volatilidad local la volatilidad es una función determinista del precio de la acción aleatoria, los modelos de volatilidad local no se utilizan muy bien para fijar el precio de las opciones cliquet u opciones de inicio a plazo , cuyos valores dependen específicamente de la naturaleza aleatoria de la volatilidad misma.
Referencias
- ^ Bruno Dupire (1994). "Precios con una sonrisa". Riesgo. Cite journal requiere
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( ayuda )"Descargar medios deshabilitados" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 7 de septiembre de 2012 . Consultado el 14 de junio de 2013 . - ^ a b Derman, E., Iraj Kani (1994). " " Cabalgando sobre una sonrisa ". RISK, 7 (2) de febrero de 1994, págs. 139-145, págs. 32-39" (PDF) . Riesgo. Archivado desde el original (PDF) el 10 de julio de 2011 . Consultado el 1 de junio de 2007 . Cite journal requiere
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