En teoría de números , el teorema de Størmer , llamado así por Carl Størmer , da un límite finito al número de pares consecutivos de números suaves que existen, para un grado dado de suavidad, y proporciona un método para encontrar todos esos pares usando ecuaciones de Pell . Se deduce del teorema de Thue-Siegel-Roth que sólo hay un número finito de pares de este tipo, pero Størmer dio un procedimiento para encontrarlos todos. [1]
Declaración
Si uno elige un conjunto finito de números primos, entonces los P -números suaves se definen como el conjunto de números enteros
que puede ser generada por los productos de los números en P . Entonces, el teorema de Størmer establece que, para cada elección de P , solo hay un número finito de pares de P -números suaves consecutivos . Además, proporciona un método para encontrarlos todos usando ecuaciones de Pell.
El procedimiento
El procedimiento original de Størmer implica resolver un conjunto de aproximadamente 3 k ecuaciones de Pell , en cada una de las cuales se encuentra solo la solución más pequeña. A continuación se describe una versión simplificada del procedimiento, debido a DH Lehmer , [2] ; resuelve menos ecuaciones pero encuentra más soluciones en cada ecuación.
Deje que P sea el conjunto dado de números primos, y definir un número para ser P - suavizar si todos sus factores primos pertenecen a P . Suponga que p 1 = 2; de lo contrario, no podría haber números P- suaves consecutivos , porque todos los números P- suaves serían impares. El método de Lehmer implica resolver la ecuación de Pell
para cada P -número q libre de cuadrados lisos distinto de 2. Cada uno de esos números q se genera como un producto de un subconjunto de P , por lo que hay 2 k - 1 ecuaciones de Pell para resolver. Para cada una de estas ecuaciones, sean x i , y i las soluciones generadas, para i en el rango de 1 a max (3, ( p k + 1) / 2) (inclusive), donde p k es el mayor de los primos en P .
Entonces, como muestra Lehmer, todos los pares consecutivos de P -números suaves tienen la forma ( x i - 1) / 2, ( x i + 1) / 2. Por lo tanto, uno puede encontrar todos esos pares probando los números de esta forma para determinar la suavidad de P.
Ejemplo
Para encontrar los diez pares consecutivos de {2,3,5} -números suaves (en teoría musical , dando las proporciones superparticulares solo para la afinación ) sea P = {2,3,5}. Hay siete números q libres de cuadrados suaves P (omitiendo el octavo número libre de cuadrados suaves P , 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 y 30, cada uno de los cuales conduce a una ecuación de Pell. El número de soluciones por ecuación de Pell requeridas por el método de Lehmer es max (3, (5 + 1) / 2) = 3, por lo que este método genera tres soluciones para cada ecuación de Pell, como sigue.
- Para q = 1, las primeras tres soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 2 y 2 = 1 son (3,2), (17,12) y (99,70). Por lo tanto, para cada uno de los tres valores x i = 3, 17 y 99, el método de Lehmer prueba la suavidad del par ( x i - 1) / 2, ( x i + 1) / 2; los tres pares que se probarán son (1, 2), (8, 9) y (49, 50). Tanto (1, 2) como (8, 9) son pares de P -números suaves consecutivos , pero (49, 50) no lo es, ya que 49 tiene 7 como factor primo.
- Para q = 3, las primeras tres soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 6 y 2 = 1 son (5,2), (49,20) y (485,198). A partir de los tres valores x i = 5, 49 y 485, el método de Lehmer forma los tres pares candidatos de números consecutivos ( x i - 1) / 2, ( x i + 1) / 2: (2,3), (24, 25) y (242,243). De estos, (2, 3) y (24, 25) son pares de P -números suaves consecutivos , pero (242, 243) no lo es.
- Para q = 5, las primeras tres soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 10 y 2 = 1 son (19,6), (721,228) y (27379,8658). La solución de Pell (19,6) conduce al par de P -números suaves consecutivos (9,10); las otras dos soluciones de la ecuación de Pell no conducen a pares P- suaves.
- Para q = 6, las primeras tres soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 12 y 2 = 1 son (7,2), (97,28) y (1351,390). La solución de Pell (7,2) conduce al par de P -números suaves consecutivos (3,4).
- Para q = 10, las primeras tres soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 20 y 2 = 1 son (9,2), (161,36) y (2889,646). La solución de Pell (9,2) conduce al par de números P- suaves consecutivos (4,5) y la solución de Pell (161,36) conduce al par de números P- suaves consecutivos (80,81).
- Para q = 15, las primeras tres soluciones de la ecuación de Pell x 2 - 30 y 2 = 1 son (11,2), (241,44) y (5291,966). La solución de Pell (11,2) conduce al par de P -números suaves consecutivos (5,6).
- Para q = 30, los primeros tres soluciones a la ecuación de Pell x 2 - 60 y 2 = 1 son (31,4), (1921,248), y (119071,15372). La solución de Pell (31,4) conduce al par de P -números suaves consecutivos (15,16).
Contando soluciones
El resultado original de Størmer puede usarse para mostrar que el número de pares consecutivos de enteros que son suaves con respecto a un conjunto de k primos es como máximo 3 k - 2 k . El resultado de Lehmer produce un límite más estricto para conjuntos de números primos pequeños: (2 k - 1) × max (3, ( p k +1) / 2). [2]
El número de pares consecutivos de enteros que son suaves con respecto a los primeros k primos es
El entero más grande de todos estos pares, para cada k , es
OEIS también enumera el número de pares de este tipo donde el mayor de los dos enteros del par es cuadrado (secuencia A117582 en el OEIS ) o triangular (secuencia A117583 en el OEIS ), ya que ambos tipos de pares surgen con frecuencia.
Generalizaciones y aplicaciones
Louis Mordell escribió sobre este resultado, diciendo que "es muy bonito y tiene muchas aplicaciones". [3]
En matemáticas
Chein (1976) utilizó el método de Størmer para probar la conjetura de Catalán sobre la inexistencia de potencias perfectas consecutivas (distintas de 8,9) en el caso de que una de las dos potencias sea un cuadrado .
Mabkhout (1993) demostró que todo número x 4 + 1, para x > 3, tiene un factor primo mayor o igual a 137. El teorema de Størmer es una parte importante de su demostración, en la que reduce el problema a la solución de 128 Ecuaciones de Pell.
Varios autores han ampliado el trabajo de Størmer proporcionando métodos para enumerar las soluciones de ecuaciones diofánticas más generales , o proporcionando criterios de divisibilidad más generales para las soluciones de las ecuaciones de Pell. [4]
Conrey, Holmstrom y McLaughlin (2013) describen un procedimiento computacional que, empíricamente, encuentra muchos, pero no todos los pares consecutivos de números suaves descritos por el teorema de Størmer, y es mucho más rápido que usar la ecuación de Pell para encontrar todas las soluciones.
En teoría musical
En la práctica musical de la entonación justa , los intervalos musicales pueden describirse como proporciones entre números enteros positivos. Más específicamente, pueden describirse como relaciones entre miembros de la serie armónica . Cualquier tono musical se puede dividir en su frecuencia fundamental y frecuencias armónicas, que son múltiplos enteros de la fundamental. Se supone que esta serie es la base de la armonía y la melodía naturales. Se dice que la complejidad tonal de las relaciones entre estos armónicos se vuelve más compleja con factores primos más altos. Para limitar esta complejidad tonal, se dice que un intervalo es n- límite cuando tanto su numerador como su denominador son n- suaves . [5] Además, las relaciones superparticulares son muy importantes en la teoría de la sintonización, ya que representan relaciones entre miembros adyacentes de la serie armónica. [6]
El teorema de Størmer permite encontrar todas las posibles relaciones superparticulares en un límite dado. Por ejemplo, en el límite 3 ( afinación pitagórica ), las únicas relaciones superparticulares posibles son 2/1 (la octava ), 3/2 (la quinta perfecta ), 4/3 (la cuarta perfecta ) y 9/8 ( el conjunto paso ). Es decir, los únicos pares de enteros consecutivos que tienen solo potencias de dos y tres en sus factorizaciones primas son (1,2), (2,3), (3,4) y (8,9). Si esto se extiende al límite de 5, están disponibles seis relaciones superparticulares adicionales: 5/4 (el tercio mayor ), 6/5 (el tercio menor ), 10/9 (el tono menor ), 16/15 (el menor segundo ), 25/24 (el semitono menor ) y 81/80 (la coma sintónica ). Todos son musicalmente significativos.
Notas
- ↑ Størmer (1897) .
- ↑ a b Lehmer (1964) .
- ^ Citado por Chapman (1958) .
- ^ En particular, véanse Cao (1991) , Luo (1991) , Mei & Sun (1997) , Sun & Yuan (1989) y Walker (1967) .
- ^ Partch (1974) .
- ^ Halsey y Hewitt (1972) .
Referencias
- Cao, Zhen Fu (1991). "En la ecuación diofántica ( ax m - 1) / ( abx -1) = por 2 ". Ciencia china. Bull . 36 (4): 275–278. Señor 1138803 .
- Chapman, Sydney (1958). "Fredrik Carl Mulertz Stormer, 1874-1957". Memorias biográficas de miembros de la Royal Society . 4 : 257-279. doi : 10.1098 / rsbm.1958.0021 . JSTOR 769515 .
- Chein, EZ (1976). "Una nota sobre la ecuación x 2 = y q + 1". Actas de la American Mathematical Society . 56 (1): 83–84. doi : 10.2307 / 2041579 . JSTOR 2041579 . Señor 0404133 .
- Conrey, JB; Holmstrom, MA; McLaughlin, TL (2013). "Vecinos suaves". Matemáticas experimentales . 22 (2): 195–202. arXiv : 1212.5161 . doi : 10.1080 / 10586458.2013.768483 . Señor 3047912 .
- Halsey, GD; Hewitt, Edwin (1972). "Más sobre las proporciones superparticulares en la música". American Mathematical Monthly . 79 (10): 1096-1100. doi : 10.2307 / 2317424 . JSTOR 2317424 . Señor 0313189 .
- Lehmer, DH (1964). "Sobre un problema de Størmer" . Revista de Matemáticas de Illinois . 8 : 57–79. doi : 10.1215 / ijm / 1256067456 . Señor 0158849 .
- Luo, Jia Gui (1991). "Una generalización del teorema de Störmer y algunas aplicaciones". Sichuan Daxue Xuebao . 28 (4): 469–474. Señor 1148835 .
- Mabkhout, M. (1993). "Minoration de P ( x 4 +1)". Desgarrar. Sem. Fac. Sci. Univ. Cagliari . 63 (2): 135-148. Señor 1319302 .
- Mei, Han Fei; Sun, Sheng Fang (1997). "Una mayor extensión del teorema de Störmer". Revista de la Universidad de Jishou (Edición de Ciencias Naturales) (en chino). 18 (3): 42–44. Señor 1490505 .
- Partch, Harry (1974). Génesis de una música: un relato de una obra creativa, sus raíces y sus logros (2ª ed.). Nueva York: Da Capo Press. pag. 73 . ISBN 0-306-71597-X.
- Størmer, Carl (1897). "Quelques théorèmes sur l'équation de Pellet leurs applications ". Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiania), Mat.-Naturv. Kl . I (2).
- Sun, Qi; Yuan, Ping Zhi (1989). "Sobre las ecuaciones diofánticas y ". Sichuan Daxue Xuebao . 26 : 20-24. MR 1059671 .
- Walker, DT (1967). "En la ecuación diofántica mX 2 - nY 2 = ± 1". American Mathematical Monthly . 74 (5): 504–513. doi : 10.2307 / 2314877 . JSTOR 2314877 . Señor 0211954 .