Subgrupo

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , dado un grupo G bajo una operación binaria ∗, un subconjunto H de G se llama subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación ∗. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo en H. Esto a menudo se denota H ≤ G , leído como " H es un subgrupo de G".

Un subgrupo adecuado de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto adecuado de G (es decir, H ≠ G ). Esto a menudo se representa en forma de notación por H < G , leído como " H es un subgrupo adecuado de G ". Algunos autores también excluyen al grupo trivial de ser apropiado (es decir, H ≠ { e }). ^[1]^[2]

Las mismas definiciones se aplican de manera más general cuando G es un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo se ocupará de subgrupos de grupos.

Dado un subgrupo H y algo de a en G, definimos la clase lateral izquierda aH = { ah : h en H }. Como a es invertible, el mapa φ: H → aH dado por φ ( h ) = ah es una biyección . Además, cada elemento de G está contenido precisamente en una clase lateral izquierda de H ; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a ₁ ~ a ₂si y solo si a ₁⁻¹a ₂ está en H. El número de clases laterales izquierdas de H se denomina índice de H en G y se denota por [ G : H ] .

donde | G | y | H | denotan los órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser un divisor de | G |. ^[4]^[5]

Las clases laterales derechas se definen de forma análoga: Ha = { ha : h en H }. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [ G : H ] .

G es el grupo , los números enteros mod 8 debajo de la suma. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a . Hay cuatro clases laterales izquierdas de H: H en sí, 1 + H, 2 + H y 3 + H (escrito usando notación aditiva ya que este es un grupo aditivo ). Juntos, dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño que no se superponen. El índice [G: H] es 4.