función sublineal

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En álgebra lineal , una función sublineal (o funcional como se usa más a menudo en el análisis funcional ), también llamada cuasi-seminorma o funcional de Banach , en un espacio vectorial es una función de valor real con solo algunas de las propiedades de una seminorma . . A diferencia de las seminormas, una función sublineal no tiene que tener valores no negativos y tampoco tiene que ser absolutamente homogénea . Las seminormas son en sí mismas abstracciones de la noción más conocida de normas .${\ estilo de visualización X}$, donde una seminorma tiene todas las propiedades definitorias de una norma excepto que no se requiere mapear vectores distintos de cero a valores distintos de cero.

En el análisis funcional , a veces se usa el nombre funcional de Banach , lo que refleja que se usan con mayor frecuencia cuando se aplica una formulación general del teorema de Hahn-Banach . Stefan Banach introdujo la noción de función sublineal cuando demostró su versión del teorema de Hahn-Banach . ^[1]

También existe una noción diferente en informática , que se describe a continuación, que también se conoce con el nombre de "función sublineal".

Sea un espacio vectorial sobre un campo donde están los números reales o los números complejos. Una función de valor real en se denomina función sublineal (o funcional sublineal si ), y también a veces se denomina cuasi-seminorma o funcional de Banach , si tiene estas dos propiedades: ^[1]${\ estilo de visualización X}$${\ estilo de visualización \ mathbb {K},}$${\ estilo de visualización \ mathbb {K}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} .}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\ estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

Una función sublineal se llama positiva ^[2] o no negativa si para todo${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización f (x) \ geq 0}$${\ estilo de visualización x \ en X.}$

El conjunto de todas las funciones sublineales denotado por puede ordenarse parcialmente declarando si y solo si para todos Una función sublineal se llama mínima si es un elemento mínimo de bajo este orden. Una función sublineal es mínima si y sólo si es una función lineal real . ^[1]${\ estilo de visualización X,}$${\ estilo de visualización X ^ {\ #},}$${\ estilo de visualización p \ leq q}$${\ estilo de visualización p (x) \ leq q (x)}$${\ estilo de visualización x \ en X.}$${\ estilo de visualización X ^ {\ #}}$

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