En matemáticas , los superquadrics o superquadrics (también superquadratics ) son una familia de formas geométricas definidas por las fórmulas que se asemejan a las de elipsoides y otros Quadrics , excepto que la cuadratura operaciones se sustituyen por poderes arbitrarios. Pueden verse como los parientes tridimensionales de las superelipsis . El término puede referirse al objeto sólido oa su superficie , según el contexto. Las siguientes ecuaciones especifican la superficie; el sólido se especifica reemplazando los signos de igualdad por signos menores o iguales.
Los supercuadrics incluyen muchas formas que se asemejan a cubos , octaedros , cilindros , pastillas y husillos , con esquinas redondeadas o afiladas. Debido a su flexibilidad y relativa simplicidad, son herramientas populares de modelado geométrico , especialmente en gráficos por computadora .
Algunos autores, como Alan Barr , definen "supercuadrics" como que incluyen tanto a los superelipsoides como a los supertoroides . [1] [2] Sin embargo, los supertoroides (propios) no son supercuadricos como se definieron anteriormente; y, aunque algunos supercuadrics son superelipsoides, ninguna familia está contenida en la otra. En una monografía se cubre una cobertura completa de las propiedades geométricas de supercuadrics y un método para su recuperación a partir de imágenes de rango . [3]
Fórmulas
Ecuación implícita
La superficie de la supercuadric básica está dada por
donde r , s y t son números reales positivos que determinan las características principales de la supercuadrica. A saber:
- menos de 1: un octaedro puntiagudo modificado para tener caras cóncavas y bordes afilados .
- exactamente 1: un octaedro regular .
- entre 1 y 2: un octaedro modificado para tener caras convexas, aristas romas y esquinas romas.
- exactamente 2: una esfera
- mayor que 2: un cubo modificado para tener bordes y esquinas redondeados.
- infinito (en el límite ): un cubo
Cada exponente se puede variar de forma independiente para obtener formas combinadas. Por ejemplo, si r = s = 2 y t = 4, se obtiene un sólido de revolución que se asemeja a un elipsoide con sección transversal redonda pero extremos aplanados. Esta fórmula es un caso especial de la fórmula del superelipsoide si (y solo si) r = s .
Si se permite que cualquier exponente sea negativo, la forma se extiende hasta el infinito. Estas formas a veces se denominan super-hiperboloides .
La forma básica anterior abarca de -1 a +1 a lo largo de cada eje de coordenadas. El supercuadric general es el resultado de escalar esta forma básica en diferentes cantidades A , B , C a lo largo de cada eje. Su ecuación general es
Descripción paramétrica
Las ecuaciones paramétricas en términos de parámetros de superficie u y v (equivalentes a longitud y latitud si m es igual a 2) son
donde se encuentran las funciones auxiliares
y la función de signo sgn ( x ) es
Código de trazado
El siguiente código GNU Octave genera una aproximación de malla de un supercuadric:
función supercuadric ( epsilon, a ) n = 50 ; etamax = pi / 2 ; etamin = - pi / 2 ; wmax = pi ; wmin = - pi ; deta = ( etamax - etamin ) / n ; dw = ( wmax - wmin ) / n ; [ i , j ] = cuadrícula de malla ( 1 : n + 1 , 1 : n + 1 ) eta = etamina + ( i - 1 ) * deta ; w = wmín + ( j - 1 ) * dw ; x = a ( 1 ) . * signo ( cos ( eta )) . * abs ( cos ( eta )) . ^ épsilon ( 1 ) . * signo ( cos ( w )) . * abs ( cos ( w )) . ^ épsilon ( 1 ); y = a ( 2 ) . * signo ( cos ( eta )) . * abs ( cos ( eta )) . ^ épsilon ( 2 ) . * signo ( sin ( w )) . * abs ( sin ( w )) . ^ épsilon ( 2 ); z = a ( 3 ) . * signo ( sin ( eta )) . * abs ( sin ( eta )) . ^ épsilon ( 3 ); malla ( x , y , z );final
Ver también
Referencias
- ^ Alan H. Barr (enero de 1981), Superquadrics and Angle-Preserving Transformations . IEEE_CGA vol. 1 no. 1, págs. 11-23
- ^ Alan H. Barr (1992), Supercuadrics rígidos de base física . Capítulo III.8 de Graphics Gems III , editado por D. Kirk, págs. 137-159
- ^ Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina (2000) Segmentación y recuperación de supercuadrics . Editores académicos Kluwer, Dordrecht