Superselección

En mecánica cuántica , la superselección amplía el concepto de reglas de selección .

Las reglas de superselección son reglas postuladas que prohíben la preparación de estados cuánticos que exhiben coherencia entre estados propios de ciertos observables . ^[1] Fue introducido originalmente por Wick, Wightman y Wigner para imponer restricciones adicionales a la teoría cuántica más allá de las reglas de selección .

Matemáticamente hablando, dos estados cuánticos y están separados por una regla de selección si para el hamiltoniano dado , mientras que están separados por una regla de superselección si para todos los observables físicos . Debido a que no hay conexiones observables y no se pueden colocar en una superposición cuántica , y / o una superposición cuántica no se puede distinguir de una mezcla clásica de los dos estados. También implica que hay una cantidad conservada clásicamente que difiere entre los dos estados. ^[2]${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle \langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle \psi _{1}|}$${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle }$

Un sector de superselección es un concepto utilizado en mecánica cuántica cuando una representación de un álgebra * se descompone en componentes irreducibles . Formaliza la idea de que no todos los operadores autoadjuntos son observables porque la fase relativa de una superposición de estados distintos de cero de diferentes componentes irreductibles no es observable (los valores esperados de los observables no pueden distinguirlos).

Formulación

Supongamos que A es un álgebra * unital y O es una subálgebra unital * cuyos elementos autoadjuntos corresponden a observables. Una representación unitaria de O se puede descomponer como la suma directa de irreducibles representaciones unitarias de O . Cada componente isotípico de esta descomposición se denomina sector de superselección . Los observables conservan los sectores de superselección.

Relación con la simetría

Las simetrías a menudo dan lugar a sectores de superselección (aunque esta no es la única forma en que ocurren). Suponga que un grupo G actúa sobre A , y que H es una representación unitaria de A y G que es equivariante en el sentido de que para todo g en G , a en A y ψ en H ,

${\displaystyle g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )}$

Suponga que O es una subálgebra invariante de A bajo G (todos los observables son invariantes bajo G , pero no todos los operadores autoadjuntos invariantes bajo G son necesariamente observables). H descompone en sectores superselección, cada uno de los cuales es el producto tensorial de una representación irreducible de G con una representación de O .

Esto se puede generalizar suponiendo que H es sólo una representación de una extensión o cubierta K de G . (Por ejemplo, G podría ser el grupo de Lorentz y K la cobertura de doble espín correspondiente ). Alternativamente, se puede reemplazar G por un álgebra de Lie , una superalgebra de Lie o un álgebra de Hopf .

Ejemplos de

Considere una partícula de la mecánica cuántica confinada a un circuito cerrado (es decir, una línea periódica de período L ). Los sectores de superselección están etiquetados por un ángulo θ entre 0 y 2π. Todas las funciones de onda dentro de un solo sector de superselección satisfacen

${\displaystyle \psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).}$

Sectores de reelección

Un gran sistema físico con infinitos grados de libertad no siempre visita todos los estados posibles, incluso si tiene suficiente energía. Si un imán se magnetiza en una determinada dirección, cada giro fluctuará a cualquier temperatura, pero la magnetización neta nunca cambiará. La razón es que es infinitamente improbable que todos los infinitos giros en cada posición diferente fluctúen todos juntos de la misma manera.

Un gran sistema a menudo tiene sectores de superselección . En un sólido, diferentes rotaciones y traslaciones que no son simetrías de celosía definen sectores de superselección. En general, una regla de superselección es una cantidad que nunca puede cambiar debido a fluctuaciones locales. Aparte de los parámetros de la ordencomo la magnetización de un imán, también hay cantidades topológicas, como el número de bobinado. Si una cuerda se enrolla alrededor de un alambre circular, el número total de veces que se enrolla nunca cambia bajo las fluctuaciones locales. Esta es una ley de conservación ordinaria. Si el alambre es una línea infinita, bajo condiciones en las que el vacío no tiene fluctuaciones en el número de devanados que sean coherentes en todo el sistema, la ley de conservación es una regla de superselección: la probabilidad de que el devanado se desenrolle es cero.

Hay fluctuaciones cuánticas, superposiciones que surgen de diferentes configuraciones de una integral de trayectoria de tipo fase y fluctuaciones estadísticas de una integral de trayectoria de tipo Boltzmann. Ambas integrales de trayectoria tienen la propiedad de que los grandes cambios en un sistema efectivamente infinito requieren una conspiración improbable entre las fluctuaciones. Por tanto, existen reglas de superselección tanto mecánica estadística como mecánica cuántica.

En una teoría donde el vacío es invariante bajo una simetría, la carga conservada conduce a sectores de superselección en el caso de que la carga se conserve. La carga eléctrica se conserva en nuestro universo, por lo que al principio parece un ejemplo trivial. Pero cuando un superconductor llena el espacio, o de manera equivalente en una fase de Higgs, la carga eléctrica aún se conserva globalmente pero ya no define los sectores de superselección. El chapoteo del superconductor puede llevar cargas a cualquier volumen a muy bajo costo. En este caso, los sectores de superselección del vacío están etiquetados por la dirección del campo de Higgs. Dado que las diferentes direcciones de Higgs están relacionadas por una simetría exacta, todas son exactamente equivalentes. Esto sugiere una profunda relación entre las direcciones de ruptura de simetría y las cargas conservadas.

Simetría discreta

En el modelo 2D de Ising , a bajas temperaturas , hay dos estados puros distintos, uno con el giro promedio apuntando hacia arriba y el otro con el giro promedio apuntando hacia abajo. Esta es la fase ordenada. A altas temperaturas, solo hay un estado puro con un giro promedio de cero. Esta es la fase desordenada. En la transición de fase entre los dos, la simetría entre el giro hacia arriba y el giro hacia abajo se rompe.

Por debajo de la temperatura de transición de fase, un modelo de ising infinito puede estar en la configuración mayoritariamente positiva o mayoritariamente negativa. Si comienza en la fase mayoritariamente positiva, nunca llegará a la mayor parte negativa, aunque girar todos los giros dará la misma energía. Al cambiar la temperatura, el sistema adquirió una nueva regla de superselección: el giro promedio. Hay dos sectores de superselección: en su mayoría menos y en su mayoría más.

También hay otros sectores de superselección; por ejemplo, estados donde la mitad izquierda del plano es mayormente más y la mitad derecha del plano es mayormente menos.

Cuando aparece una nueva regla de superselección, el sistema se ha ordenado espontáneamente . Por encima de la temperatura crítica, el modelo ising está desordenado. En principio, podría visitar todos los estados. Debajo de la transición, el sistema elige una de dos posibilidades al azar y nunca cambia de opinión.

Para cualquier sistema finito, la superselección es imperfecta. Un modelo de Ising en una red finita eventualmente fluctuará desde la mayor parte más a la mayor parte menos a cualquier temperatura distinta de cero, pero lleva mucho tiempo. La cantidad de tiempo es exponencialmente pequeña en el tamaño del sistema medido en longitudes de correlación , por lo que para todos los propósitos prácticos, el cambio nunca ocurre incluso en sistemas solo unas pocas veces más grandes que la longitud de correlación.

Simetrías continuas

Si un campo estadístico o cuántico tiene tres campos escalares de valor real , y la energía o acción solo depende de combinaciones que son simétricas bajo rotaciones de estos componentes entre sí, las contribuciones con la dimensión más baja son ( convención de suma ):${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}}$

${\displaystyle |\nabla \phi _{i}|^{2}+t\phi _{i}^{2}+\lambda (\phi _{i}^{2})^{2}\,}$

y definir la acción en un contexto de campo cuántico o energía libre en el contexto estadístico. Hay dos fases. Cuando t es grande, el potencial tiende a mover el promedio a cero. Para t grande y negativo, el potencial cuadrático empuja hacia afuera, pero el potencial cuártico evita que se vuelva infinito. Si esto se hace en una integral de trayectoria cuántica, se trata de una transición de fase cuántica , en una función de partición clásica, una transición de fase clásica .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

Entonces, a medida que t se mueve hacia valores más negativos en cualquier contexto, el campo tiene que elegir alguna dirección para apuntar. Una vez que hace esto, no puede cambiar de opinión. El sistema ha ordenado . En la fase ordenada, todavía hay un poco de simetría --- rotaciones alrededor del eje de ruptura. El campo puede apuntar en cualquier dirección etiquetada por todos los puntos en una esfera unitaria en el espacio, que es el espacio lateral del subgrupo SO (2) ininterrumpido en el grupo de simetría completo SO (3).${\displaystyle \phi }$

En la fase desordenada, los sectores de superselección se describen mediante la representación de SO (3) bajo el cual una configuración dada se transforma globalmente. Debido a que el SO (3) es ininterrumpido, las diferentes representaciones no se mezclarán entre sí. Ninguna fluctuación local traerá jamás configuraciones de SO (3) no triviales desde el infinito. Una configuración local está completamente definida por su representación.

Hay una brecha de masa, o una longitud de correlación, que separa las configuraciones con transformaciones SO (3) no triviales del vacío invariante rotacionalmente. Esto es cierto hasta el punto crítico en t donde el espacio de masa desaparece y la longitud de correlación es infinita. La brecha que desaparece es una señal de que las fluctuaciones en el campo SO (3) están a punto de condensarse.

En la región ordenada, hay configuraciones de campo que pueden llevar carga topológica. Estos están etiquetados por elementos del segundo grupo de homotopía . Cada uno de estos describe una configuración de campo diferente que a grandes distancias desde el origen es una configuración de bobinado. Aunque cada una de estas configuraciones aisladas tiene energía infinita, etiqueta sectores de superselección donde la diferencia de energía entre dos estados es finita. Además, los pares de configuraciones de devanado con carga topológica opuesta se pueden producir copiosamente a medida que se aproxima la transición desde abajo.${\displaystyle \scriptstyle \pi _{2}(SO(3)/SO(2))=\mathbb {Z} }$

Cuando el número de bobinado es cero, de modo que el campo en todas partes apunta en la misma dirección, hay una infinidad adicional de sectores de superselección, cada uno etiquetado por un valor diferente de la carga de SO (2) ininterrumpida.

En el estado ordenado, hay una brecha de masa para los sectores de superselección etiquetados por un número entero distinto de cero, porque los solitones topológicos son masivos, incluso infinitamente masivos. Pero no hay espacio de masa para todos los sectores de superselección etiquetados con cero porque hay bosones de Goldstone sin masa que describen fluctuaciones en la dirección del condensado.

Si los valores del campo se identifican bajo una reflexión Z ₂ (correspondiente a cambiar el signo de todos los campos), los sectores de superselección se etiquetan con un número entero no negativo (el valor absoluto de la carga topológica).${\displaystyle \phi }$

Las cargas O (3) solo tienen sentido en la fase desordenada y nada en la fase ordenada. Esto se debe a que cuando se rompe la simetría hay un condensado que se carga, que no es invariante bajo el grupo de simetría. Por el contrario, la carga topológica solo tiene sentido en la fase ordenada y no en absoluto en la fase desordenada, porque de alguna manera de agitación manual hay un "condensado topológico" en la fase desordenada que aleatoriza el campo de un punto a otro. Se puede pensar que la aleatorización cruza muchos límites de bobinados topológicos condensados.

La cuestión misma de qué cargos son significativos depende en gran medida de la fase. Acercándose a la transición de fase desde el lado desordenado, la masa de las partículas de carga se acerca a cero. Acercándose a él desde el lado ordenado, el espacio de masa asociado con las fluctuaciones de los solitones topológicos se aproxima a cero.

Ejemplos en física de partículas

Mecanismo de Higgs

En el modelo estándar de física de partículas, en el sector electrodébil, el modelo de baja energía es SU (2) y U (1) dividido en U (1) por un doblete de Higgs. La única regla de superación que determina la configuración es la carga eléctrica total. Si hay monopolos, se debe incluir la carga del monopolo.

Si el parámetro t de Higgs se varía para que no adquiera un valor de expectativa de vacío, el universo ahora es simétrico bajo un grupo de indicadores SU (2) y U (1) ininterrumpido. Si el SU (2) tiene acoplamientos infinitesimalmente débiles, de modo que solo confina a distancias enormes, entonces la representación del grupo SU (2) y la carga U (1) son reglas de superselección. Pero si el SU (2) tiene un acoplamiento distinto de cero, entonces los sectores de superselección están separados por una masa infinita porque la masa de cualquier estado en una representación no trivial es infinita.

Al cambiar la temperatura, las fluctuaciones de Higgs pueden poner a cero el valor esperado a una temperatura finita. Por encima de esta temperatura, los números cuánticos SU (2) y U (1) describen los sectores de superselección. Por debajo de la transición de fase, solo la carga eléctrica define el sector de superselección.

Condensado de quark quiral

Considere la simetría de sabor global de QCD en el límite quiral donde las masas de los quarks son cero. Este no es exactamente el universo en el que vivimos, donde los quarks up y down tienen una masa diminuta pero distinta de cero, pero es una muy buena aproximación, en la medida en que se conserva el isospin.

Por debajo de una cierta temperatura, que es la temperatura de restauración de la simetría, se ordena la fase. El condensado quiral se forma y se producen piones de pequeña masa. Las cargas SU (N _f ), Isospin e Hypercharge y SU (3), tienen sentido. Por encima de la temperatura QCD se encuentra una fase desordenada donde las cargas SU (N _f ) × SU (N _f ) y SU (3) de color tienen sentido.

Es una pregunta abierta si la temperatura de desconfinamiento de QCD es también la temperatura a la que se derrite el condensado quiral.

Notas

1. Bartlett, Stephen D .; Rudolph, Terry; Spekkens, Robert W. (abril-junio de 2007). "Marcos de referencia, reglas de superselección e información cuántica". Reseñas de Física Moderna . 79 (2): 555–606. arXiv : quant-ph / 0610030 . Código Bibliográfico : 2007RvMP ... 79..555B . doi : 10.1103 / RevModPhys.79.555 .
2. Giulini, Domenico (2007). "Reglas de reelección". arXiv : 0710,1516 [ quant-ph ].

Referencias

• Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Introducción a la teoría de campos cuánticos algebraicos , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0.
• Moretti, Valter (2018), Teoría espectral y mecánica cuántica: fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica. , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1.
• Moretti, Valter (2019), Estructuras matemáticas fundamentales de la teoría cuántica: teoría espectral, cuestiones fundamentales, simetrías, formulación algebraica. , Springer, ISBN 978-3-030-18345-5.
• https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036