En matemáticas , un grupo es superesoluble (o superesoluble ) si tiene una serie normal invariante donde todos los factores son grupos cíclicos . La supersolvabilidad es más fuerte que la noción de solubilidad .
Definición
Sea G un grupo . G es superesoluble si existe una serie normal
tal que cada grupo de cocientes es cíclico y cada uno es normal en .
Por el contrario, para un grupo con solución, la definición requiere que cada cociente sea abeliano . En otra dirección, un grupo policíclico debe tener una serie subnormal con cada cociente cíclico, pero no es necesario que cada ser normal en . Como todo grupo resoluble finito es policíclico, esto puede verse como una de las diferencias clave entre las definiciones. Para un ejemplo concreto, el grupo alterno en cuatro puntos,, es solucionable pero no superesoluble.
Propiedades básicas
Algunos datos sobre los grupos supersolubles:
- Los grupos superaolubles son siempre policíclicos y, por tanto, solubles .
- Cada grupo nilpotente generado de forma finita es superesoluble.
- Cada grupo metacíclico es superesoluble.
- El subgrupo de conmutadores de un grupo superesoluble es nilpotente.
- Los subgrupos y grupos de cocientes de grupos superesolubles son superesolubles.
- Un grupo finito superesoluble tiene una serie normal invariante con cada factor cíclico de orden primo.
- De hecho, los números primos se pueden elegir en un orden agradable: para cada primo p, y para π el conjunto de primos mayores que p, un grupo finito supersoluble tiene un subgrupo π de Hall único . Estos grupos a veces se denominan grupos de torres Sylow ordenados.
- Cada grupo de orden libre de cuadrados y cada grupo con subgrupos cíclicos de Sylow (un grupo Z ) es superesoluble.
- Toda representación compleja irreductible de un grupo finito superesoluble es monomial, es decir, inducida a partir de un carácter lineal de un subgrupo. En otras palabras, cada grupo finito superesoluble es un grupo monomial .
- Cada subgrupo máximo en un grupo superesoluble tiene un índice principal .
- Un grupo finito es superesoluble si y solo si cada subgrupo máximo tiene un índice primo.
- Un grupo finito es superesoluble si y solo si cada cadena máxima de subgrupos tiene la misma longitud. Esto es importante para aquellos interesados en el entramado de subgrupos de un grupo y, a veces, se denomina condición de la cadena Jordan-Dedekind .
- Según el teorema de Baum , cada grupo finito superesoluble tiene un algoritmo DFT que se ejecuta en el tiempo O ( n log n ). [ aclaración necesaria ]
Referencias
- Schenkman, Eugene. Teoría de grupos . Krieger, 1975.
- Schmidt, Roland. Celosías de subgrupos de grupos . de Gruyter, 1994.
- Conrad, Keith , SUBGROUP SERIES II, Sección 4 , http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/subgpseries2.pdf