En matemáticas , un grupo policíclico es un grupo solucionable que satisface la condición máxima en subgrupos (es decir, cada subgrupo se genera de forma finita ). Los grupos policíclicos se presentan de forma finita , y esto los hace interesantes desde un punto de vista computacional.
Terminología
De manera equivalente, un grupo G es policíclico si y solo si admite una serie subnormal con factores cíclicos, es decir, un conjunto finito de subgrupos, digamos G 0 , ..., G n tal que
- G n coincide con G
- G 0 es el subgrupo trivial
- G i es un subgrupo normal de G i +1 (para cada i entre 0 y n - 1)
- y el grupo cociente G i +1 / G i es un grupo cíclico (para todo i entre 0 y n - 1)
Un grupo metacíclico es un grupo policíclico con n ≤ 2, o en otras palabras, una extensión de un grupo cíclico por un grupo cíclico.
Ejemplos de
Los ejemplos de grupos policíclicos incluyen grupos abelianos generados finitamente, grupos nilpotentes generados finitamente y grupos solubles finitos. Anatoly Maltsev demostró que los subgrupos solubles del grupo lineal general entero son policíclicos; y más tarde Louis Auslander (1967) y Swan demostraron lo contrario, que cualquier grupo policíclico depende del isomorfismo de un grupo de matrices enteras. [1] El holomorfo de un grupo policíclico también es un grupo de matrices enteras. [2]
Grupos fuertemente policíclicos
Se dice que un grupo G es fuertemente policíclico si es policíclico con la estipulación adicional de que cada G i / G i +1 es infinitamente cíclico. Claramente, un grupo fuertemente policíclico es policíclico. Además, cualquier subgrupo de un grupo fuertemente policíclico es fuertemente policíclico.
Grupos policíclicos por finitos
Un grupo virtualmente policíclico es un grupo que tiene un subgrupo policíclico de índice finito , un ejemplo de una propiedad virtual . Tal grupo tiene necesariamente un subgrupo policíclico normal de índice finito y, por lo tanto, dichos grupos también se denominan grupos policíclicos por finitos . Aunque los grupos policíclicos por finitos no necesitan ser solubles, todavía tienen muchas de las propiedades de finitud de los grupos policíclicos; por ejemplo, satisfacen la condición máxima, se presentan finitamente y son residualmente finitos .
En el libro de texto ( Scott 1964 , cap. 7.1) y unos papeles, un grupo M se refiere a lo que ahora se llama un polycyclic- por - grupo finito , que por Hirsch es teorema también se puede expresar como un grupo que tiene una serie subnormal longitud finita con cada factor de un grupo finito o infinito cíclico grupo .
Estos grupos son particularmente interesantes porque son los únicos ejemplos conocidos de anillos de grupo noetherianos ( Ivanov 1989 ), o anillos de grupo de dimensión inyectiva finita. [ cita requerida ]
Longitud de Hirsch
La longitud de Hirsch o número de Hirsch de un grupo policíclico G es el número de factores infinitos en su serie subnormal.
Si G es un grupo policíclico-por-finito, entonces la longitud Hirsch de G es la longitud Hirsch de un policíclico subgrupo normal H de G , donde H tiene finito índice en G . Esto es independiente de la elección del subgrupo, ya que todos estos subgrupos tendrán la misma longitud de Hirsch.
Ver también
Referencias
Notas
- ^ Dmitriĭ Alekseevich Suprunenko, KA Hirsch, Matrix groups (1976), págs. 174-5; Libros de Google .
- ^ "Grupo policíclico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]