En geometría algebraica, dada una pila X de Deligne-Mumford , una teoría de obstrucción perfecta para X consiste en:
- un perfecto complejo de dos términosen la categoría derivada de gavillas étale cuasi coherentes en X , y
- un morfismo , dónde es el complejo cotangente de X , que induce un isomorfismo en y un epimorfismo en .
La noción fue introducida por Kai Behrend y Barbara Fantechi ( 1997 ) para una aplicación a la teoría de la intersección en pilas de módulos; en particular, para definir una clase fundamental virtual .
Ejemplos de
Esquemas
Considere una incrustación regular encajando en un cuadrado cartesiano
dónde son suaves. Entonces, el complejo
- (en grados )
forma una teoría de la obstrucción perfecto para X . [1] El mapa proviene de la composición.
Esta es una teoría de obstrucción perfecta porque el complejo viene equipado con un mapa para viniendo de los mapas y . Tenga en cuenta que la clase fundamental virtual asociada es
Ejemplo 1
Considere una variedad proyectiva suave . Si ponemos, entonces la teoría de la obstrucción perfecta en es
y la clase fundamental virtual asociada es
En particular, si es una intersección completa local suave, entonces la teoría de la obstrucción perfecta es el complejo cotangente (que es lo mismo que el complejo cotangente truncado).
Pilas Deligne-Mumford
La construcción anterior también funciona con pilas Deligne-Mumford.
Teoría de la obstrucción simétrica
Por definición, una teoría de obstrucción simétrica es una teoría de obstrucción perfecta junto con una forma bilineal simétrica no degenerada.
Ejemplo: Sea f una función regular en una variedad uniforme (o pila). Entonces, el conjunto de puntos críticos de f lleva una teoría de obstrucción simétrica de forma canónica.
Ejemplo: Sea M una variedad simpléctica compleja. Entonces, la intersección (de la teoría del esquema) de las subvariedades lagrangianas de M conlleva una teoría de obstrucción simétrica canónica.
Notas
- ^ Behrend-Fantechi 1997 , § 6
Referencias
- Behrend, Kai (2005). "Invariantes de Donaldson-Thomas a través de geometría microlocal". arXiv : matemáticas / 0507523v2 .
- Behrend, Kai ; Fantechi, Barbara (1 de marzo de 1997). "El cono normal intrínseco". Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom / 9601010 . Código Bibliográfico : 1997InMat.128 ... 45B . doi : 10.1007 / s002220050136 . ISSN 0020-9910 .
- Oesinghaus, Jakob (20 de julio de 2015). "Comprensión del cono de obstrucción de una teoría de obstrucción simétrica" . MathOverflow . Consultado el 19 de julio de 2017 .