En geometría diferencial , una asignatura de matemáticas , una variedad simpléctica es una variedad suave ,, equipado con un diferencial cerrado no degenerado de 2 formas , llamada forma simpléctica . El estudio de variedades simplécticas se denomina geometría simpléctica o topología simpléctica . Las variedades simplécticas surgen naturalmente en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como los haces cotangentes de variedades. Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las principales motivaciones para el campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como una variedad, y el paquete cotangente de esta variedad describe el espacio de fase del sistema.
Motivación
Las variedades simplécticas surgen de la mecánica clásica ; en particular, son una generalización del espacio de fase de un sistema cerrado. [1] De la misma manera que las ecuaciones de Hamilton permiten derivar la evolución temporal de un sistema a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales , la forma simpléctica debe permitir obtener un campo vectorial que describa el flujo del sistema a partir del diferencial dH de un función hamiltoniano H . [2] Por lo tanto se requiere una aplicación lineal TM → T * M , o de manera equivalente, un elemento de T * M ⊗ T * M . Si ω denota una sección de T ∗ M ⊗ T ∗ M , el requisito de que ω no sea degenerado asegura que para cada diferencial dH hay un campo vectorial único correspondiente V H tal que dH = ω ( V H , ·) . Dado que se desea que el hamiltoniano sea constante a lo largo de las líneas de flujo, se debe tener dH ( V H ) = ω ( V H , V H ) = 0 , lo que implica que ω es alterno y, por lo tanto, una forma 2. Finalmente, se hace el requisito de que ω no debería cambiar bajo las líneas de flujo, es decir, que la derivada de Lie de ω a lo largo de V H desaparezca. Aplicando la fórmula de Cartan , esto equivale a (aquíes el producto interior ):
de modo que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves tal que el correspondiente abarcan el espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito de la derivada de Lie que desaparece a lo largo de los flujos de correspondiente a arbitrario suave es equivalente al requisito de que ω debería estar cerrado .
Definición
Una forma simpléctica en una variedad suave es un diferencial cerrado no degenerado de 2 formas . [3] [4] Aquí, no degenerado significa que para cada punto, el emparejamiento simétrico sesgado en el espacio tangente definido por es no degenerado. Es decir, si existe un tal que para todos , luego . Dado que en dimensiones impares, las matrices simétricas sesgadas son siempre singulares, el requisito de que ser no degenerado implica que tiene una dimensión uniforme. [3] [4] La condición cerrada significa que la derivada exterior dedesaparece. Una variedad simpléctica es un par dónde es un colector suave y es una forma simpléctica. Asignar una forma simpléctica a se conoce como dar una estructura simpléctica .
Ejemplos de
Espacios vectoriales simplécticos
Dejar ser una base para Definimos nuestra forma simpléctica ω sobre esta base de la siguiente manera:
En este caso, la forma simpléctica se reduce a una forma cuadrática simple . Si I n denota la matriz identidad n × n , entonces la matriz, Ω, de esta forma cuadrática viene dada por la matriz de bloques de 2 n × 2 n :
Paquetes cotangentes
Dejar ser una variedad suave de dimensiones . Entonces el espacio total del paquete cotangente tiene una forma simpléctica natural, llamada Poincaré de dos formas o la forma simpléctica canónica
Aquí ¿Hay coordenadas locales en y son coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes . Los haces cotangentes son los espacios de fase natural de la mecánica clásica. El punto de distinguir los índices superior e inferior está impulsado por el caso de la variedad que tiene un tensor métrico , como es el caso de las variedades de Riemann . Los índices superior e inferior se transforman de forma contraria y covariable bajo un cambio de marcos de coordenadas. La frase "coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes" pretende transmitir que los momentosestán " soldados " a las velocidades. La soldadura es una expresión de la idea de que la velocidad y el momento son colineales, en el sentido de que ambos se mueven en la misma dirección y difieren en un factor de escala.
Colectores Kähler
Un colector de Kähler es un colector simpléctico equipado con una estructura compleja integrable compatible. Forman una clase particular de variedades complejas . Una gran clase de ejemplos provienen de geometría algebraica compleja . Cualquier variedad proyectiva compleja suave tiene una forma simpléctica que es la restricción de la forma Fubini-Study en el espacio proyectivo .
Lagrangianas y otras subvariedades
Hay varias nociones geométricas naturales de subvariedad de una variedad simpléctica..
- subvariedades simplécticas de (potencialmente de cualquier dimensión uniforme) son subvariedades tal que es una forma simpléctica en .
- Las subvariedades isotrópicas son subvariedades donde la forma simpléctica se restringe a cero, es decir, cada espacio tangente es un subespacio isotrópico del espacio tangente de la variedad ambiental. De manera similar, si cada subespacio tangente a una subvariedad es coisotrópico (el dual de un subespacio isotrópico), la subvariedad se denomina coisotrópico .
- Subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica son subvariedades donde la restricción de la forma simpléctica a está desapareciendo, es decir y . Las subvariedades lagrangianas son las subvariedades isotrópicas máximas.
El caso más importante de las subvariedades isotrópicas es el de las subvariedades lagrangianas . Una subvariedad lagrangiana es, por definición, una subvariedad isotrópica de dimensión máxima, es decir, la mitad de la dimensión de la variedad simpléctica ambiental. Un ejemplo importante es que la gráfica de un simplectomorfismo en la variedad simpléctica del producto ( M × M , ω × - ω ) es lagrangiana. Sus intersecciones muestran propiedades de rigidez que no poseen las variedades suaves; la conjetura de Arnold da la suma de los números de Betti de la subvariedad como un límite inferior para el número de autointersecciones de una subvariedad lagrangiana suave, en lugar de la característica de Euler en el caso suave.
Ejemplos de
Dejar tener las coordenadas globales etiquetadas Entonces, podemos equipar con la forma simpléctica canónica
Hay una subvariedad lagrangiana estándar dada por . La forma desaparece en porque dado cualquier par de vectores tangentes tenemos eso Para dilucidar, considere el caso . Luego, y Tenga en cuenta que cuando expandimos esto
Ambos términos tenemos un factor, que es 0, por definición.
El paquete cotangente de una variedad se modela localmente en un espacio similar al primer ejemplo. Se puede demostrar que podemos pegar estas formas simplécticas afines, por lo que este paquete forma una variedad simpléctica. Un ejemplo más no trivial de una subvariedad lagrangiana es la sección cero del paquete cotangente de una variedad. Por ejemplo, deja
Entonces, podemos presentar como
donde estamos tratando los símbolos como coordenadas de Podemos considerar el subconjunto donde las coordenadas y , dándonos la sección cero. Este ejemplo se puede repetir para cualquier variedad definida por el lugar de fuga de funciones suaves y sus diferenciales .
Se puede encontrar otra clase útil de subvariedades lagrangianas utilizando la teoría de Morse. Dada una función Morse y por un pequeño se puede construir una subvariedad lagrangiana dada por el locus de fuga . Para una función morse genérica tenemos una intersección lagrangiana dada por.
Subvariedades Lagrangianas especiales
En el caso de las variedades Kahler (o las variedades Calabi-Yau ) podemos hacer una elección en como una forma n holomórfica, donde es la parte real y imaginario. Una subvariedad lagrangianase llama especial si además de la condición lagrangiana anterior la restricción a está desapareciendo. En otras palabras, la parte real restringido en lleva el formulario de volumen en . Los siguientes ejemplos se conocen como subvariedades lagrangianas especiales,
- subvariedades lagrangianas complejas de variedades hiperKahler ,
- puntos fijos de una estructura real de variedades Calabi-Yau.
La conjetura SYZ ha sido probada para subvariedades lagrangianas especiales pero, en general, es abierta y aporta muchos impactos al estudio de la simetría especular . ver ( Hitchin 1999 )
Fibración lagrangiana
Una fibración lagrangiana de una variedad simpléctica M es una fibración en la que todas las fibras son subvariedades lagrangianas. Dado que M es par dimensional podemos tomar coordenadas locales ( p 1 ,…, p n , q 1 ,…, q n ), y por el teorema de Darboux la forma simpléctica ω puede escribirse, al menos localmente, como ω = ∑ d p k ∧ d q k , donde d denota la derivada exterior y ∧ denota el producto exterior . Esta forma se llama Poincaré de dos formas o canónica de dos formas. Usando esta configuración, podemos pensar localmente en M como el paquete cotangente y la fibración lagrangiana como la fibración trivial Esta es la imagen canónica.
Mapeo lagrangiano
Sea L una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica ( K , ω) dada por una inmersión i : L ↪ K ( i se llama inmersión lagrangiana ). Deje π : K ↠ B dar una formación de fibras de Lagrange de K . El compuesto ( π ∘ i ): L ↪ K ↠ B es un mapeo lagrangiano . El conjunto de valores críticos de π ∘ i se llama cáustico .
Dos mapas lagrangianos ( π 1 ∘ i 1 ): L 1 ↪ K 1 ↠ B 1 y ( π 2 ∘ i 2 ): L 2 ↪ K 2 ↠ B 2 se denominan equivalentes lagrangianos si existen difeomorfismos σ , τ y ν tales que ambos lados del diagrama dado en el desplazamiento derecho , y τ conserva la forma simpléctica. [4] Simbólicamente:
donde τ ∗ ω 2 denota el retroceso de ω 2 por τ .
Casos especiales y generalizaciones
- Una variedad simpléctica es exacta si la forma simplécticaes exacto . Por ejemplo, el haz cotangente de una variedad suave es una variedad simpléctica exacta. La forma simpléctica canónica es exacta.
- Una variedad simpléctica dotada de una métrica que es compatible con la forma simpléctica es una variedad casi de Kähler en el sentido de que el haz tangente tiene una estructura casi compleja , pero no es necesario que sea integrable .
- Las variedades simplécticas son casos especiales de una variedad de Poisson . La definición de una variedad simpléctica requiere que la forma simpléctica no sea degenerada en todas partes, pero si se viola esta condición, la variedad aún puede ser una variedad de Poisson.
- Un colector multisemplectico de grado k es un colector equipado con una forma k cerrada no degenerada . [5]
- Una variedad polisimpléctica es un paquete de Legendre provisto de una variedad polisimpléctica valorada en tangente-formulario; se utiliza en la teoría de campo hamiltoniana. [6]
Ver también
- Variedad casi compleja
- Variedad casi simpléctica
- Colector de contacto : una contraparte de dimensión impar del colector simpléctico.
- Colector Fedosov
- Soporte de Poisson
- Grupo simpléctico
- Matriz simpléctica
- Topología simpléctica
- Espacio vectorial simpléctico
- Simplectomorfismo
- Una forma tautológica
- Desigualdad de Wirtinger (2 formas)
- Teoría del campo covariante hamiltoniano
Notas
- ^ Webster, Ben. "¿Qué es una variedad simpléctica, en realidad?" .
- ^ Cohn, Henry. "Por qué la geometría simpléctica es el escenario natural de la mecánica clásica" .
- ^ a b de Gosson, Maurice (2006). Geometría simpléctica y mecánica cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. pag. 10. ISBN 3-7643-7574-4.
- ^ a b c Arnold, VI ; Varchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985). La clasificación de puntos críticos, cáusticos y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, vol . 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
- ^ Cantrijn, F .; Ibort, LA; de León, M. (1999). "Sobre la geometría de los colectores multisimplécticos" . J. Austral. Matemáticas. Soc . Ser. A. 66 (3): 303–330. doi : 10.1017 / S1446788700036636 .
- ^ Giachetta, G .; Mangiarotti, L .; Sardanashntly, G. (1999). "Ecuaciones covariantes hamiltonianas para la teoría de campos". Revista de física . A32 : 6629–6642. arXiv : hep-th / 9904062 . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 32/38/302 .
Referencias
- McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Monografías matemáticas de Oxford. ISBN 0-19-850451-9.
- Auroux, Denis . "Seminario sobre Simetría de Espejos" .
- Meinrenken, Eckhard . "Geometría simpléctica" (PDF) .
- Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. Consulte la Sección 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
- de Gosson, Maurice A. (2006). Geometría simpléctica y mecánica cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
- Alan Weinstein (1971). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas" . Avances en Matemáticas . 6 (3): 329–46. doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90020-X .
- Arnold, VI (1990). "Ch.1, Geometría simpléctica". Singularidades de cáusticos y frentes ondulatorios . Matemáticas y sus aplicaciones. 62 . Dordrecht: Springer Holanda. doi : 10.1007 / 978-94-011-3330-2 . ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC 22509804 .
enlaces externos
- "Cómo encontrar subvariedades lagrangianas" . Stack Exchange . 17 de diciembre de 2014.
- Ü. Lumiste (2001) [1994], "Estructura simpléctica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Sardanashntly, G. (2009). "Haz de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana". Conferencias para teóricos . arXiv : 0908.1886 .
- McDuff, D. (noviembre de 1998). "Estructuras simplécticas: un nuevo enfoque de la geometría" (PDF) . Avisos del AMS .
- Hitchin, Nigel (1999). "Conferencias sobre subvariedades lagrangianas especiales". arXiv : matemáticas / 9907034 .