El método de partícula en celda ( PIC ) se refiere a una técnica utilizada para resolver una determinada clase de ecuaciones diferenciales parciales . En este método, las partículas individuales (o elementos fluidos) en un marco lagrangiano se rastrean en un espacio de fase continuo , mientras que los momentos de la distribución, como las densidades y corrientes, se calculan simultáneamente en puntos de malla eulerianos (estacionarios) .
Los métodos PIC ya estaban en uso desde 1955, [1] incluso antes de que estuvieran disponibles los primeros compiladores de Fortran . El método ganó popularidad para la simulación de plasma a fines de la década de 1950 y principios de la de 1960 por Buneman , Dawson , Hockney, Birdsall, Morse y otros. En las aplicaciones de la física del plasma , el método equivale a seguir las trayectorias de partículas cargadas en campos electromagnéticos (o electrostáticos) autoconsistentes calculados en una malla fija. [2]
Aspectos técnicos
Para muchos tipos de problemas, el método PIC clásico inventado por Buneman, Dawson, Hockney, Birdsall, Morse y otros es relativamente intuitivo y sencillo de implementar. Esto probablemente explica gran parte de su éxito, particularmente para la simulación de plasma, para lo cual el método generalmente incluye los siguientes procedimientos:
- Integración de las ecuaciones de movimiento.
- Interpolación de términos de carga y fuente de corriente a la malla de campo.
- Cálculo de los campos sobre puntos de malla.
- Interpolación de los campos de la malla a las ubicaciones de las partículas.
Los modelos que incluyen interacciones de partículas solo a través de los campos promedio se denominan PM (malla de partículas). Los que incluyen interacciones binarias directas son PP (partícula-partícula). Los modelos con ambos tipos de interacciones se llaman PP-PM o P 3 M .
Desde los primeros días, se ha reconocido que el método PIC es susceptible de error debido al llamado ruido de partículas discretas . [3] Este error es de naturaleza estadística, y hoy en día sigue siendo menos comprendido que para los métodos tradicionales de red fija, como los esquemas eulerianos o semilagrangianos .
Los algoritmos PIC geométricos modernos se basan en un marco teórico muy diferente. Estos algoritmos utilizan herramientas de variedad discreta, formas diferenciales de interpolación e integradores simplécticos canónicos o no canónicos para garantizar la invariante de calibre y la conservación de la carga, la energía-momento y, lo que es más importante, la estructura simpléctica infinitamente dimensional del sistema de campo de partículas. [4] [5] Estas características deseadas se atribuyen al hecho de que los algoritmos geométricos PIC se basan en el marco teórico de campo más fundamental y están directamente vinculados a la forma perfecta, es decir, el principio variacional de la física.
Conceptos básicos de la técnica de simulación de plasma PIC
Dentro de la comunidad de investigación del plasma, se investigan sistemas de diferentes especies (electrones, iones, neutros, moléculas, partículas de polvo, etc.). El conjunto de ecuaciones asociadas con los códigos PIC son, por lo tanto, la fuerza de Lorentz como ecuación de movimiento, resuelta en el llamado empujador o motor de partículas del código, y las ecuaciones de Maxwell que determinan los campos eléctricos y magnéticos , calculadas en el solucionador (de campo). .
Superpartículas
Los sistemas reales estudiados suelen ser extremadamente grandes en términos de la cantidad de partículas que contienen. Para que las simulaciones sean eficientes o posibles, se utilizan las llamadas superpartículas . Una superpartícula (o macropartícula ) es una partícula computacional que representa muchas partículas reales; pueden ser millones de electrones o iones en el caso de una simulación de plasma o, por ejemplo, un elemento de vórtice en una simulación de fluidos. Se permite cambiar la escala del número de partículas, porque la aceleración de la fuerza de Lorentz depende solo de la relación carga-masa, por lo que una superpartícula seguirá la misma trayectoria que lo haría una partícula real.
El número de partículas reales correspondientes a una superpartícula debe elegirse de manera que se puedan recopilar suficientes estadísticas sobre el movimiento de las partículas. Si hay una diferencia significativa entre la densidad de diferentes especies en el sistema (entre iones y neutrales, por ejemplo), se pueden usar proporciones de real a superpartícula separadas para ellas.
El motor de partículas
Incluso con superpartículas, el número de partículas simuladas suele ser muy grande (> 10 5 ) y, a menudo, el motor de partículas es la parte del PIC que consume más tiempo, ya que debe realizarse para cada partícula por separado. Por lo tanto, se requiere que el empujador sea de alta precisión y velocidad y se dedica mucho esfuerzo a optimizar los diferentes esquemas.
Los esquemas utilizados para el motor de partículas se pueden dividir en dos categorías, solucionadores implícitos y explícitos. Mientras que los solucionadores implícitos (por ejemplo, el esquema de Euler implícito) calculan la velocidad de las partículas a partir de los campos ya actualizados, los solucionadores explícitos usan solo la fuerza anterior del paso de tiempo anterior y, por lo tanto, son más simples y rápidos, pero requieren un paso de tiempo más pequeño. En la simulación PIC se utiliza el método de salto , un método explícito de segundo orden. [6] También se utiliza el algoritmo de Boris que cancela el campo magnético en la ecuación de Newton-Lorentz. [7] [8]
Para aplicaciones de plasma, el método de salto adopta la siguiente forma:
donde el subíndice se refiere a cantidades "antiguas" del período de tiempo anterior, a las cantidades actualizadas del siguiente paso de tiempo (es decir, ), y las velocidades se calculan entre los pasos de tiempo habituales .
Las ecuaciones del esquema de Boris que son sustitutas en las ecuaciones anteriores son:
con
y .
Debido a su excelente precisión a largo plazo, el algoritmo de Boris es el estándar de facto para hacer avanzar una partícula cargada. Se descubrió que la excelente precisión a largo plazo del algoritmo de Boris no relativista se debe al hecho de que conserva el volumen del espacio de fase, aunque no es simpléctico. El límite global en el error de energía típicamente asociado con los algoritmos simplécticos todavía se mantiene para el algoritmo de Boris, lo que lo convierte en un algoritmo eficaz para la dinámica de múltiples escalas de plasmas. También se ha demostrado [9] que se puede mejorar el impulso relativista de Boris para que conserve el volumen y tenga una solución de velocidad constante en los campos E y B cruzados.
El solucionador de campo
Los métodos más utilizados para resolver las ecuaciones de Maxwell (o más generalmente, ecuaciones diferenciales parciales (PDE)) pertenecen a una de las siguientes tres categorías:
Con el FDM, el dominio continuo se reemplaza con una cuadrícula discreta de puntos, sobre la cual se calculan los campos eléctricos y magnéticos . Luego, las derivadas se aproximan con las diferencias entre los valores de los puntos de cuadrícula vecinos y, por lo tanto, las PDE se convierten en ecuaciones algebraicas.
Usando FEM, el dominio continuo se divide en una malla discreta de elementos. Las PDE se tratan como un problema de valor propio e inicialmente se calcula una solución de prueba utilizando funciones base que se localizan en cada elemento. Luego, la solución final se obtiene mediante optimización hasta que se alcanza la precisión requerida.
También los métodos espectrales, como la transformada rápida de Fourier (FFT), transforman las PDE en un problema de valor propio, pero esta vez las funciones base son de orden superior y se definen globalmente en todo el dominio. El dominio en sí no está discretizado en este caso, permanece continuo. Nuevamente, se encuentra una solución de prueba insertando las funciones base en la ecuación de valor propio y luego optimizada para determinar los mejores valores de los parámetros de prueba iniciales.
Ponderación de partículas y campo
El nombre "partícula en la celda" se origina en la forma en que se asignan macrocantidades de plasma ( densidad numérica , densidad de corriente , etc.) a las partículas de simulación (es decir, la ponderación de las partículas ). Las partículas pueden estar situadas en cualquier lugar del dominio continuo, pero las macrocantidades se calculan solo en los puntos de malla, al igual que los campos. Para obtener las macrocantidades, se supone que las partículas tienen una "forma" determinada determinada por la función de forma.
dónde es la coordenada de la partícula y el punto de observación. Quizás la opción más fácil y más utilizada para la función de forma es el llamado esquema de nube en celda (CIC), que es un esquema de ponderación de primer orden (lineal). Cualquiera que sea el esquema, la función de forma debe satisfacer las siguientes condiciones: [10] isotropía espacial, conservación de carga y precisión creciente (convergencia) para términos de orden superior.
Los campos obtenidos del solucionador de campo se determinan solo en los puntos de la cuadrícula y no se pueden usar directamente en el motor de partículas para calcular la fuerza que actúa sobre las partículas, pero deben interpolarse mediante la ponderación del campo :
donde el subíndice etiqueta el punto de la cuadrícula. Para garantizar que las fuerzas que actúan sobre las partículas se obtengan de forma autoconsistente, la forma de calcular macrocantidades a partir de las posiciones de las partículas en los puntos de la cuadrícula y de interpolar los campos desde los puntos de la cuadrícula a las posiciones de las partículas también debe ser consistente, ya que ambos aparecen en la ecuaciones . Sobre todo, el esquema de interpolación de campo debería conservar el impulso . Esto se puede lograr eligiendo el mismo esquema de ponderación para partículas y campos y asegurando la simetría espacial apropiada (es decir, sin fuerza propia y cumpliendo la ley de acción-reacción ) del solucionador de campo al mismo tiempo [10]
Colisiones
Como se requiere que el solucionador de campo esté libre de fuerzas propias, dentro de una celda, el campo generado por una partícula debe disminuir al disminuir la distancia desde la partícula y, por lo tanto, las fuerzas entre partículas dentro de las celdas se subestiman. Esto se puede equilibrar con la ayuda de colisiones de Coulomb entre partículas cargadas. Simular la interacción para cada par de un sistema grande sería computacionalmente demasiado costoso, por lo que se han desarrollado varios métodos de Monte Carlo . Un método ampliamente utilizado es el modelo de colisión binaria , [11] en el que las partículas se agrupan de acuerdo con su celda, luego estas partículas se emparejan al azar y finalmente los pares chocan.
En un plasma real, muchas otras reacciones pueden desempeñar un papel, que van desde colisiones elásticas, como las colisiones entre partículas cargadas y neutrales, sobre colisiones inelásticas, como la colisión de ionización de electrones neutros, hasta reacciones químicas; cada uno de ellos requiere un tratamiento por separado. La mayoría de los modelos de colisión que manejan colisiones cargadas neutrales utilizan el esquema directo de Monte-Carlo , en el que todas las partículas llevan información sobre su probabilidad de colisión, o el esquema de colisión nula , [12] [13] que no analiza todas las partículas pero utiliza la probabilidad de colisión máxima para cada especie cargada en su lugar.
Condiciones de precisión y estabilidad
Como en todo método de simulación, también en PIC, el paso de tiempo y el tamaño de la cuadrícula deben estar bien elegidos, de modo que los fenómenos de escala de tiempo y longitud de interés se resuelvan adecuadamente en el problema. Además, el paso de tiempo y el tamaño de la cuadrícula afectan la velocidad y precisión del código.
Para una simulación de plasma electrostático que utiliza un esquema de integración de tiempo explícito (por ejemplo, salto de rana, que es el más utilizado), dos condiciones importantes con respecto al tamaño de la cuadrícula y el paso del tiempo debe cumplirse para garantizar la estabilidad de la solución:
que se puede derivar considerando las oscilaciones armónicas de un plasma unidimensional no magnetizado. Las últimas condiciones son estrictamente necesarias, pero las consideraciones prácticas relacionadas con la conservación de energía sugieren utilizar una restricción mucho más estricta en la que el factor 2 se reemplaza por un número uno de orden de magnitud menor. El uso dees típico. [10] [14] No es sorprendente que la escala de tiempo natural en el plasma esté dada por la frecuencia inversa del plasma. y escala de longitud por la longitud de Debye .
Para una simulación de plasma electromagnético explícita, el paso de tiempo también debe satisfacer la condición CFL :
dónde , y es la velocidad de la luz.
Aplicaciones
Dentro de la física del plasma, la simulación de PIC ha sido utilizado con éxito para estudiar las interacciones láser-plasma, la aceleración de electrones y calentamiento de iones en el auroral ionosfera , magnetohidrodinámica , la reconexión magnética , así como de iones con gradiente de temperatura y otros microinstabilities en tokamaks , por otra parte las descargas de vacío , y plasmas polvorientos .
Los modelos híbridos pueden utilizar el método PIC para el tratamiento cinético de algunas especies, mientras que otras especies (que son maxwellianas ) se simulan con un modelo fluido.
Las simulaciones PIC también se han aplicado fuera de la física del plasma a problemas en la mecánica de sólidos y fluidos . [15] [16]
Aplicaciones computacionales de partículas electromagnéticas en la celda
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ÉPOCA | [20] | GPL | Abierto a usuarios académicos, pero es necesario registrarse: [21] | doi : 10.1088 / 0741-3335 / 57/11/113001 |
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OSIRIS | [26] | Propiedad | Cerrado (Colaboradores con MoU) | doi : 10.1007 / 3-540-47789-6_36 |
PICCANTE | [27] | GPLv3 + | Abrir repositorio: [28] | doi : 10.5281 / zenodo.48703 |
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ultraPICA | Propiedad | Disponible comercialmente de Plasma Taiwan Innovation Corporation. |
Ver también
- Modelado de plasma
- Método de partículas en celda multifase
Referencias
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enlaces externos
- Centro de software de simulación de partículas en celda y cinética (PICKSC), UCLA.
- Código 3D Particle-In-Cell de código abierto para interacciones de plasma de naves espaciales (se requiere registro de usuario obligatorio).
- Código simple de partícula en celda en MATLAB
- Plasma Theory and Simulation Group (Berkeley) Contiene enlaces a software disponible gratuitamente.
- Introducción a los códigos PIC (Univ. De Texas)
- open-pic - Simulación híbrida 3D de partículas en células de la dinámica del plasma