En física y matemáticas , un campo vectorial simpléctico es aquel cuyo flujo conserva una forma simpléctica . Es decir, sies un colector simpléctico con colector suave y forma simpléctica , luego un campo vectorial en el álgebra de Lie es simpléctica si su flujo conserva la estructura simpléctica. En otras palabras, la derivada de Lie del campo vectorial debe desaparecer:
- . [1]
Una definición alternativa es que un campo vectorial es simpléctico si su producto interior con la forma simpléctica es cerrado. [1] (El producto interior da un mapa de campos vectoriales a formas 1, que es un isomorfismo debido a la no degeneración de una forma 2 simpléctica). La equivalencia de las definiciones se deriva de la cercanía de la forma simpléctica y la magia de Cartan. fórmula para la derivada de Lie en términos de la derivada exterior .
Si el producto interior de un campo vectorial con la forma simpléctica es una forma exacta (y en particular, una forma cerrada), entonces se llama campo vectorial hamiltoniano . Si el primer grupo de cohomología de De Rhamde la variedad es trivial, todas las formas cerradas son exactas, por lo que todos los campos vectoriales simplécticos son hamiltonianos. Es decir, la obstrucción a un campo vectorial simpléctico que es hamiltoniano vive en. En particular, los campos vectoriales simplécticos en variedades simplemente conectadas son hamiltonianos.
El corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es hamiltoniano y, por tanto, la colección de campos vectoriales simplécticos y la colección de campos vectoriales hamiltonianos forman álgebras de Lie .
Referencias
- ↑ a b Cannas da Silva, Ana (2001), Lectures on Symplectic Geometry , Lecture Notes in Mathematics, 1764 , Springer-Verlag, p. 106, ISBN 978-3-540-42195-5.
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