En la geometría euclidiana , un trapezoide tangencial , también llamado trapezoide circunscrito , es un trapezoide cuyos cuatro lados son todos tangentes a un círculo dentro del trapezoide: el incírculo o círculo inscrito . Es el caso especial de un cuadrilátero tangencial en el que al menos un par de lados opuestos son paralelos . En cuanto a otros trapecios, los lados paralelos se llaman bases y los otros dos lados, piernas . Las piernas pueden ser iguales (ver trapezoide tangencial isósceles a continuación), pero no es necesario que lo sean.
Casos especiales
Ejemplos de trapezoides tangenciales son rombos y cuadrados .
Caracterización
Si el círculo es tangente a los lados AB y CD en W e Y respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es un trapezoide con lados paralelos AB y CD si y solo si [1] : Thm. 2
y AD y BC son los lados paralelos de un trapezoide si y solo si
Área
La fórmula para el área de un trapezoide se puede simplificar usando el teorema de Pitot para obtener una fórmula para el área de un trapezoide tangencial. Si las bases tienen longitudes de un y b , y uno cualquiera de los otros dos lados tiene una longitud c , entonces el área K está dada por la fórmula [2] (Esta fórmula se puede utilizar sólo en casos en que las bases son paralelas.)
El área se puede expresar en términos de las longitudes de las tangentes e , f , g , h como [3] : p.129
Inradius
Usando las mismas notaciones que para el área, el radio en el círculo es [2]
El diámetro del círculo es igual a la altura del trapezoide tangencial.
El radio interno también se puede expresar en términos de longitudes de tangente como [3] : p.129
Además, si las longitudes de las tangentes e, f, g, h emanan respectivamente de los vértices A, B, C, D y AB son paralelas a DC , entonces [1]
Propiedades del incentro
Si el círculo es tangente a las bases en P y Q , entonces P , I y Q son colineales , donde I es el incentro. [4]
Los ángulos AID y BIC en un trapezoide tangencial ABCD , con bases AB y DC , son ángulos rectos . [4]
El incentro se encuentra en la mediana (también llamado segmento medio; es decir, el segmento que conecta los puntos medios de las piernas). [4]
Otras propiedades
La mediana (segmento medio) de un trapezoide tangencial es igual a un cuarto del perímetro del trapezoide. También es igual a la mitad de la suma de las bases, como en todos los trapezoides.
Si se dibujan dos círculos, cada uno con un diámetro que coincide con las patas de un trapezoide tangencial, entonces estos dos círculos son tangentes entre sí. [5]
Trapezoide tangencial derecho
Un trapezoide tangencial recto es un trapezoide tangencial donde dos ángulos adyacentes son ángulos rectos . Si las bases tienen longitudes a y b , entonces la inradio es [6]
Por tanto, el diámetro del círculo es la media armónica de las bases.
El trapezoide tangencial derecho tiene el área [6]
Trapezoide tangencial isósceles
Un trapezoide tangencial isósceles es un trapezoide tangencial donde las piernas son iguales. Dado que un trapezoide isósceles es cíclico , un trapezoide tangencial isósceles es un cuadrilátero bicéntrico . Es decir, que tiene tanto una circunferencia inscrita y una circunferencia circunscrita .
Si las bases son una y b , entonces la inradio está dada por [7]
Derivar esta fórmula fue un simple problema de Sangaku de Japón . Del teorema de Pitot se deduce que las longitudes de los catetos son la mitad de la suma de las bases. Dado que el diámetro del círculo es la raíz cuadrada del producto de las bases, un trapezoide tangencial isósceles da una buena interpretación geométrica de la media aritmética y la media geométrica de las bases como la longitud de un cateto y el diámetro del círculo, respectivamente.
La zona K de un isósceles tangencial trapecio con bases a y b viene dada por [8]
Referencias
- ↑ a b Josefsson, Martin (2014), "The diagonal point triangle revisited" (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 381–385.
- ↑ a b H. Lieber y F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben , Berlín, Dritte Auflage, 1889, p. 154.
- ^ a b Josefsson, Martin (2010), "Cálculos relacionados con las longitudes de tangentes y las cuerdas de tangencia de un cuadrilátero tangencial" (PDF) , Forum Geometricorum , 10 : 119–130.
- ^ a b c J. Wilson, Serie de problemas 2.2 , Universidad de Georgia, 2010, [1] .
- ^ Liceo de Chernomorsky, Cuadriláteros inscritos y circunscritos , 2010, [2] .
- ^ a b c Círculo inscrito en un trapezoide, Art of Problem Soving , 2011
- ^ MathDL, círculo inscrito y trapezoide , The Mathematical Association of America, 2012, [3] .
- ^ Abhijit Guha, Matemáticas CAT , PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.