En matemáticas puras y aplicadas , mecánica cuántica y gráficos por computadora , un operador tensorial generaliza la noción de operadores que son escalares y vectores . Una clase especial de estos son los operadores de tensor esférico que aplican la noción de base esférica y armónicos esféricos . La base esférica se relaciona estrechamente con la descripción del momento angular en la mecánica cuántica y las funciones armónicas esféricas. La generalización sin coordenadas de un operador tensorial se conoce comooperador de representación . [1]
La noción general de operadores escalares, vectoriales y tensoriales
En mecánica cuántica, los observables físicos que son escalares, vectores y tensores deben representarse mediante operadores escalares, vectoriales y tensoriales, respectivamente. El hecho de que algo sea un escalar, un vector o un tensor depende de cómo lo vean dos observadores cuyos marcos de coordenadas están relacionados entre sí mediante una rotación. Alternativamente, uno puede preguntarse cómo, para un solo observador, una cantidad física se transforma si se rota el estado del sistema. Considere, por ejemplo, un sistema que consta de una molécula de masa, viajando con un centro definido de impulso de masa, , en el dirección. Si rotamos el sistema por acerca de eje, el impulso cambiará a , que está en el dirección. Sin embargo, la energía cinética del centro de masa de la molécula no cambiará en. La energía cinética es un escalar y el momento es un vector, y estas dos cantidades deben ser representadas por un operador escalar y vectorial, respectivamente. Por este último en particular, nos referimos a un operador cuyos valores esperados en los estados inicial y rotado son y . La energía cinética en cambio debe estar representada por un operador escalar, cuyo valor esperado debe ser el mismo en los estados inicial y rotado.
De la misma manera, las cantidades tensoriales deben estar representadas por operadores tensoriales. Un ejemplo de una cantidad tensorial (de rango dos) es el momento cuadripolo eléctrico de la molécula anterior. Asimismo, los momentos octapolo y hexadecapole serían tensores de rango tres y cuatro, respectivamente.
Otros ejemplos de operadores escalares son el operador de energía total (más comúnmente llamado hamiltoniano ), la energía potencial y la energía de interacción dipolo-dipolo de dos átomos. Ejemplos de operadores vectoriales son el momento, la posición, el momento angular orbital,, y el momento angular de giro, . (Letra pequeña: el momento angular es un vector en lo que respecta a las rotaciones, pero a diferencia de la posición o el momento, no cambia de signo bajo la inversión espacial, y cuando se desea proporcionar esta información, se dice que es un pseudovector).
Los operadores escalares, vectoriales y tensoriales también pueden estar formados por productos de operadores. Por ejemplo, el producto escalar de los dos operadores vectoriales, y , es un operador escalar, que ocupa un lugar destacado en las discusiones sobre la interacción espín-órbita . De manera similar, el tensor de momento cuadrupolo de nuestra molécula de ejemplo tiene los nueve componentes
- .
Aquí, los índices y puede tomar independientemente los valores 1, 2 y 3 (o , , y ) correspondiente a los tres ejes cartesianos, el índice recorre todas las partículas (electrones y núcleos) de la molécula, es la carga de la partícula , y es el th componente de la posición de esta partícula. Cada término de la suma es un operador tensorial. En particular, los nueve productos juntos forman un tensor de segundo rango, formado tomando el producto directo del operador vectorial consigo mismo.
Rotaciones de estados cuánticos
Operador de rotación cuántica
El operador de rotación sobre el vector unitario n (que define el eje de rotación) a través del ángulo θ es
donde J = ( J x , J y , J z ) son los generadores de rotación (también las matrices de momento angular):
y deja ser una matriz de rotación . De acuerdo con la fórmula de rotación de Rodrigues , el operador de rotación asciende a
Un operador es invariante bajo una transformación unitaria U si
en este caso para la rotación ,
Eigenkets de momento angular
La base ortonormal establecida para el momento angular total es , donde j es el número cuántico de momento angular total ym es el número cuántico de momento angular magnético, que toma valores - j , - j + 1, ..., j - 1, j . Un estado general
en el espacio gira a un nuevo estado por:
Usando la condición de integridad :
tenemos
Presentamos los elementos de la matriz Wigner D :
da la multiplicación de la matriz:
Por una base Ket:
Para el caso del momento angular orbital, los estados propios del operador de momento angular orbital L y las soluciones de la ecuación de Laplace en una esfera 3d son armónicos esféricos :
donde P ℓ m es un polinomio de Legendre asociado , ℓ es el número cuántico de momento angular orbital y m es el número cuántico magnético orbital que toma los valores −ℓ, −ℓ + 1, ... ℓ - 1, ℓ El formalismo de Los armónicos esféricos tienen amplias aplicaciones en las matemáticas aplicadas y están estrechamente relacionados con el formalismo de los tensores esféricos, como se muestra a continuación.
Los armónicos esféricos son funciones de los ángulos polar y azimutal, ϕ y θ respectivamente, que se pueden recopilar convenientemente en un vector unitario n ( θ , ϕ ) apuntando en la dirección de esos ángulos, en la base cartesiana es:
Entonces un armónico esférico también se puede escribir . Estados armónicos esféricosrotar de acuerdo con la matriz de rotación inversa U ( R −1 ), mientras gira por la matriz de rotación inicial .
Rotación de operadores tensoriales
Definimos la rotación de un operador requiriendo que el valor esperado del operador original con respecto al estado inicial ser igual al valor esperado del operador girado con respecto al estado girado,
No fue,
- → →
tenemos,
desde, es arbitrario,
Operadores escalares
Un operador escalar es invariante bajo rotaciones: [2]
Esto es equivalente a decir que un operador escalar conmuta con los generadores de rotación:
Ejemplos de operadores escalares incluyen
- el operador energético :
- energía potencial V (solo en el caso de un potencial central)
- energía cinética T :
- el acoplamiento espín-órbita :
Operadores vectoriales
Los operadores vectoriales (así como los operadores pseudovectores ) son un conjunto de 3 operadores que se pueden rotar de acuerdo con: [2]
de esto y el operador de rotación infinitesimal y su conjugado hermitiano, e ignorando el término de segundo orden en , se puede derivar la relación de conmutación con el generador de rotación:
donde ε ijk es el símbolo de Levi-Civita , que todos los operadores vectoriales deben satisfacer, por construcción. Como el símbolo ε ijk es un pseudotensor , los operadores de pseudovectores son invariantes hasta un signo: +1 para rotaciones propias y −1 para rotaciones impropias .
Los operadores vectoriales incluyen
- el operador de posición :
- el operador de impulso :
y los operadores peusodovector incluyen
- el operador de momento angular orbital :
- así como el operador de giro S , y por lo tanto el momento angular total
En notación de Dirac:
y desde | Psi ⟩ es cualquier estado cuántico, el mismo resultado sigue:
Tenga en cuenta que aquí, el término "vector" se utiliza de dos formas diferentes: kets como | Psi ⟩ son elementos de los espacios de Hilbert abstractos, mientras que el operador vector se define como una cantidad cuyos componentes transformar de una manera determinada en virtud de rotaciones.
Operadores de vectores esféricos
Un operador vectorial en la base esférica es V = ( V +1 , V 0 , V −1 ) donde los componentes son: [2]
y los conmutadores con los generadores de rotación son:
donde q es un marcador de posición para las etiquetas de base esférica (+1, 0, −1) y:
(algunos autores pueden colocar un factor de 1/2 en el lado izquierdo de la ecuación) y aumentar ( J + ) o disminuir ( J - ) el número cuántico magnético total m en una unidad. En la base esférica los generadores son:
La transformación de rotación en la base esférica (originalmente escrita en la base cartesiana) es entonces:
Se puede generalizar fácilmente el concepto de operador vectorial a los operadores tensoriales , que se muestran a continuación.
Operadores tensoriales y sus representaciones reducibles e irreductibles
Un operador de tensor se puede rotar de acuerdo con: [2]
Considere un tensor diádico con componentes T ij = a i b j , este gira infinitesimalmente de acuerdo con:
Tensores diádicos cartesianos de la forma
donde un y b son dos operadores vector:
son reducibles, que significa que pueden ser re-expresar en términos de una y b como un tensor de rango 0 (escalar), además de un tensor de rango 1 (un tensor antisimétrico), además de un tensor de rango 2 (a tensor simétrico con cero traza ) :
donde el primer término
incluye solo un componente, un escalar escrito de manera equivalente ( a · b ) / 3, el segundo
incluye tres componentes independientes, equivalentemente los componentes de ( a × b ) / 2, y el tercero
incluye cinco componentes independientes. En todo momento, δ ij es el delta de Kronecker , los componentes de la matriz de identidad . El número entre paréntesis en superíndice indica el rango del tensor. Estos tres términos son irreductibles, lo que significa que no pueden descomponerse más y seguir siendo tensores que satisfacen las leyes de transformación definitorias bajo las cuales deben ser invariantes. Estos también corresponden al número de funciones armónicas esféricas 2ℓ + 1 para ℓ = 0, 1, 2, lo mismo que los rangos para cada tensor. Cada una de las representaciones irreducibles T (1) , T (2) ... se transforman como estados propios de momento angular según el número de componentes independientes.
Ejemplo de un operador Tensor,
- El operador de momento cuadrupolo ,
- Se pueden multiplicar dos operadores de tensor para obtener otro operador de tensor. En general,
Nota: Este es solo un ejemplo, en general, un operador de tensor no se puede escribir como el producto de dos operadores de tensor como se muestra en el ejemplo anterior.
Operadores de tensor esférico
Continuando con el ejemplo anterior de la segunda orden tensor diádica T = un ⊗ b , echando cada uno de una y b en la base esférica y sustituyendo en T da a los operadores tensoriales esféricas del segundo orden, que son:
Usando el operador de rotación infinitesimal y su conjugado hermitiano, se puede derivar la relación de conmutación en la base esférica:
y la transformación de rotación finita en la base esférica es:
En general, los operadores tensoriales se pueden construir desde dos perspectivas. [3]
Una forma es especificar cómo se transforman los tensores esféricos bajo una rotación física, una definición teórica de grupo . Un estado propio de momento angular rotado se puede descomponer en una combinación lineal de los estados propios iniciales: los coeficientes en la combinación lineal consisten en entradas de la matriz de rotación de Wigner. Los operadores de tensor esférico a veces se definen como el conjunto de operadores que se transforman al igual que los mercados propios bajo una rotación.
Un tensor esférico T q ( k ) de rango k se define para rotar en T q ′ ( k ) de acuerdo con:
donde q = k , k - 1, ..., - k + 1, - k . Para tensores esféricos, k y q son etiquetas análogos a ℓ y m respectivamente, para armónicos esféricos. Algunos autores escriben T k q en lugar de T q ( k ) , con o sin paréntesis que encierran el número de rango k .
Otro procedimiento relacionado requiere que los tensores esféricos satisfagan ciertas relaciones de conmutación con respecto a los generadores de rotación J x , J y , J z - una definición algebraica.
Las relaciones de conmutación de los componentes del momento angular con los operadores tensoriales son:
Para cualquier vector 3d, no solo un vector unitario, y no solo el vector de posición :
un tensor esférico es un armónico esférico en función de este vector a , y en notación de Dirac:
(los superíndices y subíndices cambian de lugar para las etiquetas correspondientes ℓ ↔ k y m ↔ q que utilizan los tensores esféricos y los armónicos esféricos).
Los estados armónicos esféricos y los tensores esféricos también se pueden construir a partir de los coeficientes de Clebsch-Gordan . Los tensores esféricos irreducibles pueden generar tensores esféricos de rango superior; si A q 1 ( k 1) y B q 2 ( k 2) son dos tensores esféricos de rangos k 1 y k 2 respectivamente, entonces:
es un tensor esférico de rango k .
El adjunto hermitiano de un tensor esférico se puede definir como
Existe cierta arbitrariedad en la elección del factor de fase: cualquier factor que contenga (−1) ± q satisfará las relaciones de conmutación. [4] La elección de fase anterior tiene las ventajas de ser real y de que el producto tensorial de dos operadores hermitianos que se desplazan sigue siendo hermitiano. [5] Algunos autores lo definen con un signo diferente en q , sin la k , o usan solo el piso de k . [6]
Momento angular y armónicos esféricos
Momento angular orbital y armónicos esféricos
Los operadores de momento angular orbital tienen los operadores de escalera :
que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético orbital m ℓ en una unidad. Tiene casi exactamente la misma forma que la base esférica, además de los factores multiplicativos constantes.
Operadores de tensor esférico y espín cuántico
Los tensores esféricos también se pueden formar a partir de combinaciones algebraicas de los operadores de espín S x , S y , S z , como matrices, para un sistema de espín con número cuántico total j = ℓ + s (y ℓ = 0). Los operadores de giro tienen los operadores de escalera:
que aumentan o disminuyen el número cuántico magnético de espín m s en una unidad.
Aplicaciones
Las bases esféricas tienen amplias aplicaciones en matemáticas puras y aplicadas y ciencias físicas donde ocurren geometrías esféricas.
Transiciones radiativas dipolo en un átomo de un solo electrón (álcali)
La amplitud de transición es proporcional a los elementos de la matriz del operador dipolo entre los estados inicial y final. Usamos un modelo electrostático sin espinas para el átomo y consideramos la transición del nivel de energía inicial E nℓ al nivel final E n′ℓ ′ . Estos niveles están degenerados, ya que la energía no depende del número cuántico magnético m o m ′. Las funciones de onda tienen la forma,
El operador dipolar es proporcional al operador de posición del electrón, por lo que debemos evaluar los elementos de la matriz de la forma,
donde, el estado inicial está a la derecha y el último a la izquierda. El operador de posición r tiene tres componentes, y los niveles inicial y final constan de 2ℓ + 1 y 2ℓ ′ + 1 estados degenerados, respectivamente. Por lo tanto, si deseamos evaluar la intensidad de una línea espectral como se observaría, realmente tenemos que evaluar 3 (2ℓ ′ + 1) (2ℓ + 1) elementos de la matriz, por ejemplo, 3 × 3 × 5 = 45 en un Transición 3d → 2p. Esto es en realidad una exageración, como veremos, porque muchos de los elementos de la matriz desaparecen, pero todavía quedan muchos elementos de la matriz que no desaparecen por calcular.
Se puede lograr una gran simplificación expresando las componentes de r, no con respecto a la base cartesiana, sino con respecto a la base esférica. Primero definimos,
Luego, al inspeccionar una tabla de los Y ℓm ′ s, encontramos que para ℓ = 1 tenemos,
donde, hemos multiplicado cada Y 1m por el radio r. En el lado derecho vemos las componentes esféricas r q del vector de posición r . Los resultados se pueden resumir por,
para q = 1, 0, -1, donde q aparece explícitamente como un número cuántico magnético. Esta ecuación revela una relación entre los operadores vectoriales y el valor del momento angular ℓ = 1, algo sobre lo que tendremos más que decir en este momento. Ahora los elementos de la matriz se convierten en un producto de una integral radial por una integral angular,
Vemos que toda la dependencia de los tres números cuánticos magnéticos (m ′, q, m) está contenida en la parte angular de la integral. Además, la integral angular se puede evaluar mediante la fórmula de tres Y ℓm , después de lo cual se vuelve proporcional al coeficiente de Clebsch-Gordan,
La integral radial es independiente de los tres números cuánticos magnéticos (m ′, q, m), y el truco que acabamos de utilizar no nos ayuda a evaluarla. Pero es solo una integral, y una vez que se ha hecho, todas las demás integrales pueden evaluarse simplemente calculando o buscando los coeficientes de Clebsch-Gordan.
La regla de selección m ′ = q + m en el coeficiente de Clebsch-Gordan significa que muchas de las integrales desaparecen, por lo que hemos exagerado el número total de integrales que deben hacerse. Pero si hubiéramos trabajado con los componentes cartesianos r i de r , esta regla de selección podría no haber sido obvia. En cualquier caso, incluso con la regla de selección, todavía puede haber muchas integrales distintas de cero por hacer (nueve, en el caso 3d → 2p). El ejemplo que acabamos de dar de simplificar el cálculo de elementos matriciales para una transición dipolar es en realidad una aplicación del teorema de Wigner-Eckart, que abordaremos más adelante en estas notas.
Resonancia magnetica
El formalismo de tensor esférico proporciona una plataforma común para tratar la coherencia y la relajación en la resonancia magnética nuclear . En RMN y EPR , los operadores de tensor esférico se emplean para expresar la dinámica cuántica del giro de las partículas , mediante una ecuación de movimiento para las entradas de la matriz de densidad , o para formular la dinámica en términos de una ecuación de movimiento en el espacio de Liouville . La ecuación de movimiento espacial de Liouville gobierna los promedios observables de las variables de espín. Cuando la relajación se formula utilizando una base de tensor esférico en el espacio de Liouville, se obtiene una visión porque la matriz de relajación exhibe la relajación cruzada de los observables de espín directamente. [3]
Procesamiento de imágenes y gráficos por computadora
Ver también
- Teorema de Wigner-Eckart
- Tensor de estructura
- Coeficientes de Clebsch-Gordan para SU (3)
Referencias
Notas
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Fuentes
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Otras lecturas
Armónicos esféricos
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enlaces externos
- (2012) Coeficientes de Clebsch-Gordon (sic) y los armónicos esféricos del tensor
- El tensor de armónicos esféricos
- (2010) Operadores de tensor irreductibles y el teorema de Wigner-Eckart
- Operadores de tensor [ enlace muerto permanente ]
- M. Fowler (2008), Operadores de tensor
- Tensor_Operators
- (2009) Operadores de tensor y el teorema de Wigner Eckart
- El teorema de Wigner-Eckart [ enlace muerto permanente ]
- (2004) Transformaciones rotacionales y operadores de tensor esférico
- Operadores de tensor
- Evaluación de los elementos de la matriz para transiciones radiativas.
- DK Ghosh, (2013) Momento angular - III: Wigner- Teorema de Eckart
- B. Baragiola (2002) Operadores de tensor
- Tensores esféricos