Un mosaico o mosaico de una superficie plana es el recubrimiento de un plano utilizando una o más formas geométricas , llamadas mosaicos , sin superposiciones ni espacios. En matemáticas , las teselaciones se pueden generalizar a dimensiones más altas y una variedad de geometrías.
Un mosaico periódico tiene un patrón repetitivo. Algunos tipos especiales incluyen mosaicos regulares con mosaicos poligonales regulares todos de la misma forma y mosaicos semirregulares con mosaicos regulares de más de una forma y con todas las esquinas dispuestas de manera idéntica. Los patrones formados por mosaicos periódicos se pueden clasificar en 17 grupos de papel tapiz . Un mosaico que carece de un patrón repetitivo se denomina "no periódico". Un mosaico aperiódico utiliza un pequeño conjunto de formas de mosaico que no pueden formar un patrón repetitivo. En la geometría de dimensiones más altas, un relleno de espacio o un panal de abejas también se llama teselado del espacio .
Un teselado físico real es un mosaico hecho de materiales como cuadrados o hexágonos de cerámica cementada . Dichos revestimientos pueden ser patrones decorativos o pueden tener funciones tales como proporcionar pavimentos , suelos o revestimientos de paredes duraderos y resistentes al agua . Históricamente, los teselados se utilizaron en la antigua Roma y en el arte islámico , como en la arquitectura marroquí y en los mosaicos geométricos decorativos del palacio de la Alhambra . En el siglo XX, la obra de MC Escher a menudo hizo uso de teselados, tanto en la geometría euclidiana ordinaria como en la geometría hiperbólica , para lograr un efecto artístico. Los mosaicos se emplean a veces para obtener un efecto decorativo en el acolchado . Los mosaicos forman una clase de patrones en la naturaleza , por ejemplo, en las matrices de celdas hexagonales que se encuentran en los panales .
Historia
Los sumerios utilizaron mosaicos (alrededor del 4000 a. C.) en la construcción de decoraciones de paredes formadas por patrones de tejas de arcilla. [1]
Los mosaicos decorativos hechos de pequeños bloques cuadrados llamados teselas se emplearon ampliamente en la antigüedad clásica , [2] a veces mostrando patrones geométricos. [3] [4]
En 1619, Johannes Kepler realizó un estudio temprano documentado de teselaciones. Escribió sobre teselaciones regulares y semirregulares en su Harmonices Mundi ; posiblemente fue el primero en explorar y explicar las estructuras hexagonales del panal y los copos de nieve . [5] [6] [7]
Unos doscientos años después, en 1891, el cristalógrafo ruso Yevgraf Fyodorov demostró que cada mosaico periódico del avión presenta uno de los diecisiete grupos diferentes de isometrías. [8] [9] El trabajo de Fyodorov marcó el comienzo no oficial del estudio matemático de los teselados. Otros colaboradores destacados incluyen Aleksei Shubnikov y Nikolai Belov (1964), [10] y Heinrich Heesch y Otto Kienzle (1963). [11]
Etimología
En latín, tessella es una pequeña pieza cúbica de arcilla , piedra o vidrio que se usa para hacer mosaicos. [12] La palabra "tessella" significa "pequeño cuadrado" (de tessera , cuadrado, que a su vez proviene de la palabra griega τέσσερα para cuatro ). Corresponde al término cotidiano alicatado , que se refiere a aplicaciones de teselados, a menudo hechos de arcilla vidriada .
Descripción general
El mosaico en dos dimensiones, también llamado mosaico plano, es un tema de geometría que estudia cómo las formas, conocidas como mosaicos , se pueden organizar para llenar un plano sin espacios, de acuerdo con un conjunto de reglas dado. Estas reglas pueden variar. Los más comunes son que no debe haber espacios entre los azulejos y que ninguna esquina de un azulejo puede estar a lo largo del borde de otro. [13] Los mosaicos creados con ladrillos adheridos no obedecen esta regla. Entre los que lo hacen, un mosaico regular tiene tanto mosaicos regulares [a] idénticos como esquinas o vértices regulares idénticos, con el mismo ángulo entre los bordes adyacentes para cada mosaico. [14] Solo hay tres formas que pueden formar tales teselados regulares: el triángulo equilátero , el cuadrado y el hexágono regular . Cualquiera de estas tres formas se puede duplicar infinitamente para llenar un plano sin espacios. [6]
Muchos otros tipos de teselación son posibles bajo diferentes restricciones. Por ejemplo, hay ocho tipos de teselación semi-regular, hechos con más de un tipo de polígono regular pero aún teniendo la misma disposición de polígonos en cada esquina. [15] Los teselados irregulares también se pueden hacer a partir de otras formas, como pentágonos , poliominós y, de hecho, casi cualquier tipo de forma geométrica. El artista MC Escher es famoso por hacer mosaicos con mosaicos entrelazados irregulares, con forma de animales y otros objetos naturales. [16] Si se eligen colores contrastantes adecuados para las baldosas de diferentes formas, se forman patrones llamativos, que pueden usarse para decorar superficies físicas como pisos de iglesias. [17]
Más formalmente, un mosaico o mosaico es una cubierta del plano euclidiano por un número contable de conjuntos cerrados, llamados mosaicos , de modo que los mosaicos se cruzan solo en sus límites . Estos mosaicos pueden ser polígonos o cualquier otra forma. [b] Muchos mosaicos se forman a partir de un número finito de prototipos en los que todos los mosaicos del mosaico son congruentes con los prototipos dados. Si una forma geométrica se puede utilizar como un prototipo para crear un mosaico, se dice que la forma es un mosaico o un mosaico del plano . El criterio de Conway es un conjunto de reglas suficiente pero no necesario para decidir si una forma dada cubre el plano periódicamente sin reflejos: algunas fichas no cumplen el criterio pero aún así forman el plano. [19] No se ha encontrado una regla general para determinar si una forma dada puede enlosar el plano o no, lo que significa que hay muchos problemas sin resolver relacionados con los mosaicos. [18]
Matemáticamente, las teselaciones pueden extenderse a espacios distintos al plano euclidiano. [6] El geómetra suizo Ludwig Schläfli fue pionero en esto al definir polisquemas , que los matemáticos hoy en día llaman politopos . Estos son los análogos a polígonos y poliedros en espacios con más dimensiones. Además, definió la notación de símbolos de Schläfli para facilitar la descripción de los politopos. Por ejemplo, el símbolo de Schläfli para un triángulo equilátero es {3}, mientras que el de un cuadrado es {4}. [20] La notación Schläfli permite describir teselaciones de forma compacta. Por ejemplo, un mosaico de hexágonos regulares tiene tres polígonos de seis lados en cada vértice, por lo que su símbolo de Schläfli es {6,3}. [21]
También existen otros métodos para describir mosaicos poligonales. Cuando la teselación está formada por polígonos regulares, la notación más común es la configuración del vértice , que es simplemente una lista del número de lados de los polígonos alrededor de un vértice. El mosaico cuadrado tiene una configuración de vértice de 4.4.4.4, o 4 4 . El mosaico de hexágonos regulares se indica en 6.6.6 o 6 3 . [18]
En matemáticas
Introducción a los teselados
Los matemáticos usan algunos términos técnicos cuando hablan de teselaciones. Un borde es la intersección entre dos mosaicos limítrofes; a menudo es una línea recta. Un vértice es el punto de intersección de tres o más mosaicos limítrofes. Usando estos términos, un mosaico isogonal o transitivo de vértice es un mosaico en el que cada punto de vértice es idéntico; es decir, la disposición de los polígonos alrededor de cada vértice es la misma. [18] La región fundamental es una forma como un rectángulo que se repite para formar la teselación. [22] Por ejemplo, una teselación regular del plano con cuadrados tiene una reunión de cuatro cuadrados en cada vértice . [18]
Los lados de los polígonos no son necesariamente idénticos a los bordes de los mosaicos. Un mosaico de borde a borde es cualquier mosaico poligonal donde los mosaicos adyacentes solo comparten un lado completo, es decir, ningún mosaico comparte un lado parcial o más de un lado con cualquier otro mosaico. En un mosaico de borde a borde, los lados de los polígonos y los bordes de los mosaicos son iguales. El embaldosado familiar de "pared de ladrillos" no es de borde a borde porque el lado largo de cada ladrillo rectangular se comparte con dos ladrillos adyacentes. [18]
Un mosaico normal es un mosaico para el que cada mosaico es topológicamente equivalente a un disco , la intersección de dos mosaicos cualesquiera es un conjunto conectado o el conjunto vacío , y todos los mosaicos están delimitados de manera uniforme . Esto significa que se puede utilizar un solo radio de circunscripción y un solo radio de inscripción para todas las baldosas de todo el revestimiento; la condición no permite baldosas que sean patológicamente largas o delgadas. [23]
Un mosaico monoédrico es un mosaico en el que todos los mosaicos son congruentes ; tiene un solo prototipo. Un tipo particularmente interesante de teselación monoédrica es el mosaico monoédrico en espiral. El primer mosaico monoédrico en espiral fue descubierto por Heinz Voderberg en 1936; el mosaico de Voderberg tiene un mosaico de unidad que es un eneágono no convexo . [1] El mosaico de Hirschhorn , publicado por Michael D. Hirschhorn y DC Hunt en 1985, es un mosaico de pentágono que utiliza pentágonos irregulares: los pentágonos regulares no pueden enlosar el plano euclidiano como el ángulo interno de un pentágono regular,3 π/5, no es divisor de 2 π . [24] [25] [26]
Un revestimiento isoédrico es una variación especial de un revestimiento monoédrico en el que todas las baldosas pertenecen a la misma clase de transitividad, es decir, todas las baldosas son transformaciones del mismo prototipo bajo el grupo de simetría del revestimiento. [23] Si un prototipo admite un mosaico, pero ningún mosaico es isoédrico, entonces el prototipo se llama anisoédrico y forma mosaicos anisoédricos .
Un mosaico regular es un mosaico de borde a borde altamente simétrico formado por polígonos regulares , todos de la misma forma. Solo hay tres teselados regulares: los formados por triángulos equiláteros , cuadrados o hexágonos regulares . Los tres de estos mosaicos son isogonales y monoédricos. [27]
Una teselación semi-regular (o de Arquímedes) usa más de un tipo de polígono regular en una disposición isogonal. Hay ocho mosaicos semi-regulares (o nueve si el par de mosaicos de la imagen especular cuenta como dos). [28] Estos pueden describirse por su configuración de vértice ; por ejemplo, un mosaico semi-regular que usa cuadrados y octágonos regulares tiene la configuración de vértice 4.8 2 (cada vértice tiene un cuadrado y dos octágonos). [29] Son posibles muchas teselaciones que no son de borde a borde del plano euclidiano, incluida la familia de teselaciones pitagóricas , teselaciones que utilizan dos tamaños (parametrizados) de cuadrados, cada cuadrado tocando cuatro cuadrados del otro tamaño. [30] Un mosaico de bordes es aquel en el que cada mosaico puede reflejarse sobre un borde para tomar la posición de un mosaico vecino, como en una matriz de triángulos equiláteros o isósceles. [31]
Grupos de fondos de pantalla
Los mosaicos con simetría traslacional en dos direcciones independientes se pueden clasificar por grupos de papel tapiz , de los cuales 17 existen. [32] Se ha afirmado que los diecisiete de estos grupos están representados en el palacio de la Alhambra en Granada , España . Aunque esto se discute, [33] la variedad y sofisticación de los mosaicos de la Alhambra han sorprendido a los investigadores modernos. [34] De los tres mosaicos regulares, dos están en el grupo de papel tapiz p6m y uno está en p4m . Los mosaicos en 2D con simetría de traslación en una sola dirección pueden clasificarse mediante los siete grupos de frisos que describen los posibles patrones de frisos . [35] La notación orbifold se puede utilizar para describir grupos de papel tapiz del plano euclidiano. [36]
Azulejos aperiódicos
Los mosaicos de Penrose , que utilizan dos prototipos de cuadriláteros diferentes, son el ejemplo más conocido de mosaicos que crean patrones no periódicos a la fuerza. Pertenecen a una clase general de revestimientos aperiódicos , que utilizan baldosas que no se pueden teselar periódicamente. El proceso recursivo de mosaico de sustitución es un método para generar mosaicos aperiódicos. Una clase que se puede generar de esta manera son los rep-tiles ; estos mosaicos tienen sorprendentes propiedades de autorreplicación . [37] Los mosaicos en forma de molinete no son periódicos y utilizan una construcción de mosaicos repetidos; los mosaicos aparecen en infinitas orientaciones. [38] Podría pensarse que un patrón no periódico carecería por completo de simetría, pero no es así. Los mosaicos aperiódicos, aunque carecen de simetría de traslación , tienen simetrías de otros tipos, por repetición infinita de cualquier parche limitado del mosaico y en ciertos grupos finitos de rotaciones o reflejos de esos parches. [39] Una regla de sustitución, como la que se puede utilizar para generar algunos patrones de Penrose utilizando conjuntos de mosaicos llamados rombos, ilustra la simetría de escala. [40] Se puede utilizar una palabra de Fibonacci para construir un mosaico aperiódico y para estudiar los cuasicristales , que son estructuras con un orden aperiódico. [41]
Los mosaicos Wang son cuadrados coloreados en cada borde y se colocan de manera que los bordes contiguos de los mosaicos adyacentes tengan el mismo color; de ahí que a veces se les llame dominó de Wang . Un juego adecuado de dominó Wang puede enlosar el avión, pero solo de forma aperiódica. Esto se conoce porque cualquier máquina de Turing puede representarse como un juego de dominó Wang que embaldosan el avión si y solo si la máquina de Turing no se detiene. Dado que el problema de la detención es indecidible, el problema de decidir si un juego de dominó Wang puede enlosar el plano también es indecidible. [42] [43] [44] [45] [46]
Las baldosas Truchet son baldosas cuadradas decoradas con patrones para que no tengan simetría rotacional ; en 1704, Sébastien Truchet utilizó una teja cuadrada dividida en dos triángulos de colores contrastantes. Estos pueden colocar el plano en mosaico de forma periódica o aleatoria. [47] [48]
Teselaciones y color
A veces, el color de un mosaico se entiende como parte del mosaico; en otras ocasiones, se pueden aplicar posteriormente colores arbitrarios. Cuando se habla de un mosaico que se muestra en colores, para evitar ambigüedades, es necesario especificar si los colores son parte del mosaico o solo parte de su ilustración. Esto afecta si los mosaicos con la misma forma pero diferentes colores se consideran idénticos, lo que a su vez afecta las cuestiones de simetría. El teorema de los cuatro colores establece que por cada mosaico de un plano euclidiano normal , con un conjunto de cuatro colores disponibles, cada mosaico puede colorearse en un color de modo que ningún mosaico del mismo color se encuentre en una curva de longitud positiva. La coloración garantizada por el teorema de los cuatro colores generalmente no respeta las simetrías de la teselación. Para producir un color que lo haga, es necesario tratar los colores como parte del mosaico. Aquí, se pueden necesitar hasta siete colores, como en la imagen de la derecha. [49]
Teselaciones con polígonos
Junto a las diversas teselaciones por polígonos regulares , también se han estudiado las teselaciones por otros polígonos.
Cualquier triángulo o cuadrilátero (incluso no convexo ) se puede utilizar como prototipo para formar una teselación monoédrica, a menudo en más de una forma. Las copias de un cuadrilátero arbitrario pueden formar una teselación con simetría de traslación y simetría rotacional doble con centros en los puntos medios de todos los lados. Para un cuadrilátero asimétrico, este mosaico pertenece al grupo de papel tapiz p2 . Como dominio fundamental tenemos el cuadrilátero. De manera equivalente, podemos construir un paralelogramo subtendido por un conjunto mínimo de vectores de traslación, comenzando desde un centro rotacional. Podemos dividir esto por una diagonal y tomar la mitad (un triángulo) como dominio fundamental. Tal triángulo tiene la misma área que el cuadrilátero y se puede construir a partir de él cortando y pegando. [50]
Si solo se permite una forma de baldosa, existen teselaciones con N- gones convexos para N iguales a 3, 4, 5 y 6. Para N = 5 , ver Azulejos pentagonales , para N = 6 , ver Azulejos hexagonales , para N = 7 , ver alicatado heptagonal y para N = 8 , ver alicatado octogonal .
Para obtener resultados sobre el mosaico del plano con poliominós , consulte Polyomino § Usos de poliominós .
Azulejos Voronoi
Los mosaicos de Voronoi o Dirichlet son mosaicos en los que cada mosaico se define como el conjunto de puntos más cercano a uno de los puntos en un conjunto discreto de puntos de definición. (Piense en las regiones geográficas donde cada región se define como todos los puntos más cercanos a una ciudad u oficina de correos determinada). [51] [52] La celda de Voronoi para cada punto de definición es un polígono convexo. La triangulación de Delaunay es una teselación que es el gráfico dual de una teselación de Voronoi. Las triangulaciones de Delaunay son útiles en la simulación numérica, en parte porque entre todas las triangulaciones posibles de los puntos definitorios, las triangulaciones de Delaunay maximizan el mínimo de los ángulos formados por las aristas. [53] Los mosaicos de Voronoi con puntos colocados al azar se pueden usar para construir mosaicos aleatorios del plano. [54]
Teselaciones en dimensiones superiores
La teselación se puede ampliar a tres dimensiones. Ciertos poliedros se pueden apilar en un patrón de cristal regular para rellenar (o en mosaico) el espacio tridimensional, incluido el cubo (el único poliedro platónico que lo hace), el dodecaedro rómbico , el octaedro truncado y los prismas triangulares, cuadriláteros y hexagonales. , entre otros. [55] Cualquier poliedro que se ajuste a este criterio se conoce como plesioedro y puede tener entre 4 y 38 caras. [56] Los dodecaedros rómbicos naturales se encuentran como cristales de andradita (una especie de granate ) y fluorita . [57] [58]
Los mosaicos en tres o más dimensiones se denominan panales . En tres dimensiones solo hay un panal regular, que tiene ocho cubos en cada vértice del poliedro. De manera similar, en tres dimensiones solo hay un panal cuasirregular [c] , que tiene ocho tetraedros y seis octaedros en cada vértice del poliedro. Sin embargo, hay muchos posibles panales semirregulares en tres dimensiones. [59] Se pueden construir poliedros uniformes usando la construcción Wythoff . [60]
El biprisma de Schmitt-Conway es un poliedro convexo con la propiedad de embaldosar el espacio sólo de forma aperiódica. [61]
Un triángulo de Schwarz es un triángulo esférico que se puede utilizar para enlosar una esfera . [62]
Teselaciones en geometrías no euclidianas
Es posible teselar en geometrías no euclidianas como la geometría hiperbólica . Un mosaico uniforme en el plano hiperbólico (que puede ser regular, cuasirregular o semirregular) es un relleno de borde a borde del plano hiperbólico, con polígonos regulares como caras ; estos son transitivos de vértice ( transitivos en sus vértices ) e isogonales (hay una isometría que mapea cualquier vértice sobre cualquier otro). [63] [64]
Un panal uniforme en el espacio hiperbólico es una teselación uniforme de células poliédricas uniformes . En el espacio hiperbólico tridimensional hay nueve familias del grupo Coxeter de panales uniformes convexos compactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia. [sesenta y cinco]
En arte
En arquitectura, los teselados se han utilizado para crear motivos decorativos desde la antigüedad. Las baldosas de mosaico a menudo tenían patrones geométricos. [4] Las civilizaciones posteriores también utilizaron azulejos más grandes, ya sea lisos o decorados individualmente. Algunos de los más decorativa fueron los árabes alicatados de la arquitectura islámica , utilizando girih y Zellige azulejos en edificios como la Alhambra [66] y de la Mezquita . [67]
Los teselados aparecieron con frecuencia en el arte gráfico de MC Escher ; se inspiró en el uso árabe de la simetría en lugares como la Alhambra cuando visitó España en 1936. [68] Escher hizo cuatro dibujos de " Límite de círculo " de mosaicos que utilizan geometría hiperbólica. [69] [70] Para su grabado en madera "Circle Limit IV" (1960), Escher preparó un estudio a lápiz y tinta que mostraba la geometría requerida. [71] Escher explicó que "ningún componente de toda la serie, que desde infinitamente lejos se eleva como cohetes perpendicularmente desde el límite y finalmente se pierde en él, nunca alcanza la línea límite". [72]
Los diseños en mosaico a menudo aparecen en los textiles, ya sean tejidos, cosidos o impresos. Los patrones de teselación se han utilizado para diseñar motivos entrelazados de formas de parche en edredones . [73] [74]
Los teselados también son un género principal en el origami (plegado de papel), donde los pliegues se utilizan para conectar moléculas como los pliegues retorcidos entre sí de manera repetida. [75]
En la fabricación
La teselación se utiliza en la industria manufacturera para reducir el desperdicio de material (pérdidas de rendimiento) como chapa al cortar formas para objetos como puertas de automóviles o latas de bebidas . [76]
La teselación es aparente en el agrietamiento similar a grietas de las películas delgadas [77] [78] - con un grado de autoorganización que se observa utilizando micro y nanotecnologías . [79]
En naturaleza
El panal es un conocido ejemplo de teselación en la naturaleza con sus celdas hexagonales. [80]
En botánica, el término "teselado" describe un patrón a cuadros, por ejemplo, en un pétalo de flor, corteza de árbol o fruta. Las flores, incluida la fritillary [81] y algunas especies de Colchicum, son característicamente teseladas. [82]
Muchos patrones en la naturaleza están formados por grietas en láminas de materiales. Estos patrones pueden describirse mediante teselaciones de Gilbert , [83] también conocidas como redes de grietas aleatorias. [84] La teselación de Gilbert es un modelo matemático para la formación de grietas de barro , cristales en forma de aguja y estructuras similares. El modelo, que lleva el nombre de Edgar Gilbert , permite que se formen grietas a partir de dispersas al azar sobre el plano; cada grieta se propaga en dos direcciones opuestas a lo largo de una línea a través del punto de inicio, su pendiente elegida al azar, creando una teselación de polígonos convexos irregulares. [85] Los flujos de lava basáltica a menudo muestran uniones columnar como resultado de las fuerzas de contracción que causan grietas a medida que la lava se enfría. Las extensas redes de grietas que se desarrollan a menudo producen columnas hexagonales de lava. Un ejemplo de este conjunto de columnas es la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte. [86] El pavimento teselado , un ejemplo característico del cual se encuentra en Eaglehawk Neck en la península de Tasmania , es una rara formación de roca sedimentaria donde la roca se ha fracturado en bloques rectangulares. [87]
Otros patrones naturales ocurren en las espumas ; estos se empaquetan de acuerdo con las leyes de Plateau , que requieren superficies mínimas . Tales espumas presentan un problema en cómo empacar las celdas lo más herméticamente posible: en 1887, Lord Kelvin propuso un empaque usando solo un sólido, el panal cúbico bitruncado con caras muy ligeramente curvadas. En 1993, Denis Weaire y Robert Phelan propusieron la estructura Weaire-Phelan , que usa menos área de superficie para separar celdas de igual volumen que la espuma de Kelvin. [88]
En rompecabezas y matemáticas recreativas
Los mosaicos han dado lugar a muchos tipos de rompecabezas de mosaico , desde los rompecabezas tradicionales (con piezas irregulares de madera o cartón) [89] y el tangram [90] hasta los rompecabezas más modernos que a menudo tienen una base matemática. Por ejemplo, poliamante y polyominoes son figuras de triángulos regulares y plazas, a menudo usados en el embaldosado puzzles. [91] [92] Autores como Henry Dudeney y Martin Gardner han hecho muchos usos de la teselación en matemáticas recreativas . Por ejemplo, Dudeney inventó la disección con bisagras , [93] mientras que Gardner escribió sobre la rep-tile , una forma que se puede diseccionar en copias más pequeñas de la misma forma. [94] [95] Inspirada por los artículos de Gardner en Scientific American , la matemática aficionada Marjorie Rice encontró cuatro nuevos teselados con pentágonos. [96] [97] Elevar al cuadrado el cuadrado es el problema de colocar en mosaico un cuadrado integral (uno cuyos lados tienen una longitud entera) usando solo otros cuadrados integrales. [98] [99] Una extensión es cuadrar el plano, colocarlo en mosaicos cuyos tamaños son todos números naturales sin repeticiones; James y Frederick Henle demostraron que esto era posible. [100]
Ejemplos de
Alicatado triangular , uno de los tres alicatados regulares del avión.
Revestimiento hexagonal chato , un revestimiento semirregular del plano
Floret suelo de baldosas pentagonales , doble a un semirregular y uno de 15 monohedrales embaldosados pentágono .
El mosaico Voderberg , un mosaico monoédrico en espiral hecho de eneágonos .
El mosaico alternado octogonal o tritetragonal es un mosaico uniforme del plano hiperbólico .
Azulejos cuadrados topológicos , isoédricamente distorsionados en forma de I.
Ver también
- Red global discreta
- Partición del espacio
- Panal (geometría)
Notas al pie
- ^ El término matemático para formas idénticas es "congruente"; en matemáticas, "idéntico" significa que son el mismo mosaico.
- ^ Por lo general, se requiere que los mosaicos sean homeomórficos (topológicamente equivalentes) a un disco cerrado , lo que significa que se excluyen las formas extrañas con agujeros, segmentos de líneas colgantes o áreas infinitas. [18]
- ^ En este contexto, cuasirregular significa que las celdas son regulares (sólidas) y las figuras de los vértices son semirregulares.
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La Figura 1 es parte de un mosaico del plano euclidiano, que imaginamos como continuo en todas las direcciones, y la Figura 2 [Límite del círculo IV] es una hermosa teselación del modelo de disco unitario de Poincaré del plano hiperbólico con mosaicos blancos que representan ángeles y negros azulejos que representan demonios. Una característica importante del segundo es que todas las fichas blancas son mutuamente congruentes, al igual que todas las fichas negras; Por supuesto, esto no es cierto para la métrica euclidiana, pero sí para la métrica de Poincaré.
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enlaces externos
- Tegula (software de código abierto para explorar teselaciones bidimensionales del plano, la esfera y el plano hiperbólico; incluye bases de datos que contienen millones de teselaciones)
- Wolfram MathWorld: Tessellation (buena bibliografía, dibujos de teselados regulares, semirregulares y demirregulares)
- Enciclopedia de mosaicos (información extensa sobre mosaicos de sustitución, incluidos dibujos, personas y referencias)
- Tessellations.org (guías prácticas, galería de teselados de Escher, galerías de teselados de otros artistas, planes de lecciones, historia)
- Eppstein, David . "El depósito de chatarra de geometría: mosaico hiperbólico" . (lista de recursos web que incluyen artículos y galerías)