Distribución (matemáticas)

Las distribuciones , también conocidas como distribuciones de Schwartz o funciones generalizadas , son objetos que generalizan la noción clásica de funciones en el análisis matemático . Las distribuciones permiten diferenciar funciones cuyas derivadas no existen en el sentido clásico. En particular, cualquier función integrable localmente tiene una derivada distributiva. Las distribuciones se utilizan ampliamente en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , donde puede ser más fácil establecer la existencia de soluciones distributivas que las soluciones clásicas, o donde las soluciones clásicas apropiadas pueden no existir. Las distribuciones también son importantes en física yingeniería donde muchos problemas conducen naturalmente a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones o condiciones iniciales son distribuciones, como la función delta de Dirac .

Normalmente se piensa que una función actúa sobre los puntos en su dominio "enviando" un punto x en su dominio al punto. En lugar de actuar sobre puntos, la teoría de la distribución reinterpreta funciones tales como actuar sobre funciones de prueba de cierta manera. La acción de una distribución en una función de prueba se puede interpretar como un promedio ponderado de la distribución en el soporte de la función de prueba, incluso si los valores de la distribución en un solo punto no están bien definidos.${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x).}$${\ Displaystyle f}$

En aplicaciones a la física y la ingeniería, las funciones de prueba suelen ser funciones de valor complejo (o valor real ) infinitamente diferenciables con soporte compacto que se definen en algún subconjunto abierto no vacío dado (las funciones de respuesta son ejemplos de funciones de prueba). El conjunto de todas estas funciones de prueba forma un espacio vectorial que se denota por o ${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (U).}$

El gráfico de la función bump donde y Esta función es una función de prueba en y es un elemento de El soporte de esta función es el disco de la unidad cerrada en No es cero en el disco de la unidad abierta y es igual a 0 en todas partes fuera de eso.${\ Displaystyle (x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mapsto \ Psi (r),}$${\ Displaystyle r = \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \ Psi (r) = e ^ {- {\ frac {1} {1-r ^ {2}}}} \ cdot \ mathbf {1} _ {\ {| r | <1 \}}. }$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {2} \ right).}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$