En matemáticas , el dominio o conjunto de salida de una función es el conjunto en el que toda la entrada de la función está obligada a caer. [1] Es el conjunto X en la notación f : X → Y , y alternativamente se denota como. [2] Dado que una función (total) se define en todo su dominio, su dominio coincide con su dominio de definición . [3] Sin embargo, esta coincidencia ya no es cierta para una función parcial , ya que el dominio de definición de una función parcial puede ser un subconjunto propio del dominio.
Un dominio es parte de una función f si f se define como un triple ( X , Y , G ) , donde X se llama dominio de f , Y su codominio y G su gráfica . [4]
Un dominio no es parte de una función f si f se define solo como una gráfica. [5] [6] Por ejemplo, a veces es conveniente en la teoría de conjuntos permitir que el dominio de una función sea una clase X adecuada , en cuyo caso formalmente no existe un triple ( X , Y , G ) . Con esta definición, las funciones no tienen un dominio, aunque algunos autores todavía lo utilizan informalmente después de la introducción de una función en la forma f : X → Y . [7]
Por ejemplo, el dominio del coseno es el conjunto de todos los números reales , mientras que el dominio de la raíz cuadrada consta solo de números mayores o iguales a 0 (ignorando los números complejos en ambos casos).
Si el dominio de una función es un subconjunto de los números reales y la función está representada en un sistema de coordenadas cartesianas , entonces el dominio está representado en el eje x .
Ejemplos de
Una función bien definida debe asignar cada elemento de su dominio a un elemento de su codominio. Por ejemplo, la función definido por
no tiene valor para . Así, el conjunto de todos los números reales ,, no puede ser su dominio. En casos como este, la función se define en, o la "brecha está tapada" definiendo explícitamente. Por ejemplo. si uno extiende la definición dea la función por partes
luego se define para todos los números reales, y su dominio es .
Cualquier función puede restringirse a un subconjunto de su dominio. La restricción de a , dónde , está escrito como .
Dominio natural
El dominio natural de una función (a veces abreviado como dominio) es el conjunto máximo de valores para los cuales se define la función, típicamente dentro de los reales pero a veces también entre los números enteros o complejos. Por ejemplo, el dominio natural de la raíz cuadrada son los reales no negativos cuando se considera una función numérica real. Cuando se considera un dominio natural, el conjunto de posibles valores de la función generalmente se denomina rango . [8] Además, en el análisis complejo, especialmente en varias variables complejas , cuando una función f es holomórpica en el dominioy no se puede conectar directamente al dominio fuera de D , incluido el punto del límite del dominio, en otras palabras, dicho dominio D es un dominio natural en el sentido de continuación analítica , el dominio D se llama dominio de holomorfia de f y el límite se llama límite natural de f .
Teoría de categorías
La teoría de categorías se ocupa de morfismos en lugar de funciones. Los morfismos son flechas de un objeto a otro. El dominio de cualquier morfismo es el objeto del que parte una flecha. En este contexto, muchas ideas teóricas establecidas sobre dominios deben abandonarse, o al menos formularse de manera más abstracta. Por ejemplo, se debe modificar la noción de restringir un morfismo a un subconjunto de su dominio. Para obtener más información, consulte el subobjeto .
Otros usos
La palabra "dominio" se usa con otros significados relacionados en algunas áreas de las matemáticas. En topología , un dominio es un conjunto abierto conectado . [9] En el análisis real y complejo , un dominio es un subconjunto abierto conectado de un espacio vectorial real o complejo . En el estudio de ecuaciones diferenciales parciales , un dominio es el subconjunto abierto conectado del espacio euclidiano. donde se plantea un problema (es decir, donde se definen las funciones desconocidas).
Ejemplos más comunes
Como una función parcial de los números reales a los números reales, la función tiene dominio . Sin embargo, si uno define la raíz cuadrada de un número negativo x como el número complejo z con una parte imaginaria positiva tal que z 2 = x , entonces la funcióntiene toda la línea real como su dominio (pero ahora con un codominio más grande). El dominio de la función trigonométrica es el conjunto de todos los números (reales o complejos), que no tienen la forma .
Ver también
- Dominio de atributo
- Biyección, inyección y sobreyección
- Codominio
- Descomposición de dominio
- Dominio efectivo
- Imagen (matemáticas)
- Dominio de Lipschitz
- Teoría de conjuntos ingenua
- Apoyo (matemáticas)
Notas
- ^ Codd, Edgar Frank (junio de 1970). "Un modelo relacional de datos para grandes bancos de datos compartidos" (PDF) . Comunicaciones de la ACM . 13 (6): 377–387. doi : 10.1145 / 362384.362685 . Consultado el 29 de abril de 2020 .
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
- ^ Paley, Hiram ; Weichsel, Paul M. (1966). Un primer curso de álgebra abstracta . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston. pag. 16 .
- ^ Bourbaki 1970 , p. 76
- ^ Bourbaki 1970 , p. 77
- ^ Forster 2003 , págs. 10-11
- ^ Eccles 1997 , pag. 91 ( cita 1 , cita 2 ); Mac Lane 1998 , p. 8 ; Mac Lane, en Scott & Jech 1967 , p. 232 ; Sharma 2004 , p. 91 ; Stewart y Tall 1977 , p. 89
- ^ Rosenbaum, Robert A .; Johnson, G. Philip (1984). Cálculo: conceptos básicos y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 60 . ISBN 0-521-25012-9.
- ^ Weisstein, Eric W. "Dominio" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles . Éléments de mathématique. Saltador. ISBN 9783540340348.