En geometría , un tetracontaoctagon (o tetracontakaioctagon ) o 48-gon es un polígono de cuarenta y ocho lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier tetracontaoctagón es 8280 grados.
Tetracontaoctagón regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 48 |
Símbolo de Schläfli | {48}, t {24}, tt {12}, ttt {6}, tttt {3} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 48 ), orden 2 × 48 |
Ángulo interno ( grados ) | 172,5 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Tetracontaoctagón regular
El tetracontaoctagón regular está representado por el símbolo de Schläfli {48} y también se puede construir como un icositetragon truncado , t {24}, o un dodecágono truncado dos veces , tt {12}, o un hexágono truncado tres veces , ttt {6}, o un triángulo truncado cuádruple , tttt {3}.
Un ángulo interior en un tetracontaoctagón regular es 172 1 ⁄ 2 °, lo que significa que un ángulo exterior sería 7 1 ⁄ 2 °.
El área de un tetracontaoctagón regular es: (con t = longitud del borde)
El tetracontaoctagón apareció en la aproximación poligonal de pi de Arquímedes , junto con el hexágono (6 gon), el dodecágono (12 gon), el icositetragon (24 gon) y el eneacontahexágono (96 gon).
Construcción
Dado que 48 = 2 4 × 3, un tetracontaoctagón regular se puede construir usando un compás y una regla . [1] Como icositetragon truncado , se puede construir mediante una bisección de borde de un icositetragon regular.
Simetría
El tetracontaoctagón regular tiene simetría Dih 48 , orden 96. Hay nueve subgrupos de simetrías diedras: (Dih 24 , Dih 12 , Dih 6 , Dih 3 ) y (Dih 16 , Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 Dih 1 ), y 10 simetrías de grupos cíclicos : (Z 48 , Z 24 , Z 12 , Z 6 , Z 3 ) y (Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 , Z 1 ).
Estas 20 simetrías se pueden ver en 28 simetrías distintas en el tetracontaoctagon. John Conway los etiqueta por carta y orden de grupo. [2] La simetría completa de la forma regular es r96 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o bordes ( p para perpendiculares), yi cuando las líneas de reflexión atraviesan ambos bordes y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro central.
La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g48 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
regular | Isotoxal |
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [3] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformemente, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el tetracontaoctagón regular , m = 24, y se puede dividir en 276: 12 cuadrados y 11 conjuntos de 24 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 24 .
Tetracontaoctagrama
Un tetracontaoctagrama es un polígono en estrella de 48 lados . Hay siete formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {48/5}, {48/7}, {48/11}, {48/13}, {48/17}, {48/19} y {48/23 }, así como 16 figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .
Imagen | {48/5} | {48/7} | {48/11} | {48/13} | {48/17} | {48/19} | {48/23} |
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Angulo interior | 142,5 ° | 127,5 ° | 97,5 ° | 82,5 ° | 52,5 ° | 37,5 ° | 7.5 ° |
Referencias
- ^ Polígono construible
- ^ John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275- 278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- Nombrar polígonos y poliedros