El tensor de Lanczos o potencial de Lanczos es un tensor de rango 3 en la relatividad general que genera el tensor de Weyl . [1] Fue introducido por primera vez por Cornelius Lanczos en 1949. [2] La importancia teórica del tensor de Lanczos es que sirve como campo indicador para el campo gravitacional de la misma manera que, por analogía, los cuatro potenciales electromagnéticos generan el campo electromagnético . [3] [4]
Definición
El tensor de Lanczos se puede definir de diferentes formas. La definición moderna más común es a través de las ecuaciones de Weyl-Lanczos, que demuestran la generación del tensor de Weyl a partir del tensor de Lanczos. [4] Estas ecuaciones, presentadas a continuación, fueron dadas por Takeno en 1964. [1] La forma en que Lanczos introdujo el tensor originalmente fue como un multiplicador de Lagrange [2] [5] en términos de restricción estudiados en el enfoque variacional de la relatividad general . [6] Bajo cualquier definición, el tensor H de Lanczos exhibe las siguientes simetrías:
El tensor de Lanczos siempre existe en cuatro dimensiones [7] pero no se generaliza a dimensiones superiores. [8] Esto destaca la especialidad de cuatro dimensiones . [3] Nótese además que el tensor de Riemann completo no puede, en general, derivarse únicamente de las derivadas del potencial de Lanczos. [7] [9] Las ecuaciones de campo de Einstein deben proporcionar el tensor de Ricci para completar los componentes de la descomposición de Ricci .
El campo de Curtright tiene una dinámica de transformación de calibre similar a la del tensor de Lanczos. Pero el campo de Curtright existe en dimensiones arbitrarias> 4D. [10]
Ecuaciones de Weyl-Lanczos
Las ecuaciones de Weyl-Lanczos expresan el tensor de Weyl completamente como derivadas del tensor de Lanczos: [11]
dónde es el tensor de Weyl, el punto y coma denota la derivada covariante y los paréntesis subindicados indican simetrización . Aunque las ecuaciones anteriores se pueden usar para definir el tensor de Lanczos, también muestran que no es único, sino que tiene libertad de calibre en un grupo afín . [12] Sies un campo vectorial arbitrario , entonces las ecuaciones de Weyl-Lanczos son invariantes bajo la transformación de calibre
donde los corchetes subindicados indican antisimetrización . Una opción a menudo conveniente es el calibre algebraico de Lanczos, que establece El manómetro se puede restringir aún más a través del manómetro diferencial Lanczos . Estas opciones de calibre reducen las ecuaciones de Weyl-Lanczos a la forma más simple
Ecuación de onda
El tensor de potencial de Lanczos satisface una ecuación de onda [13]
dónde es el operador de d'Alembert y
se conoce como tensor de algodón . Dado que el tensor de Cotton depende solo de las derivadas covariantes del tensor de Ricci , tal vez pueda interpretarse como una especie de corriente de materia. [14] Los términos de autoacoplamiento adicionales no tienen un equivalente electromagnético directo. Estos términos de autoacoplamiento, sin embargo, no afectan las soluciones de vacío , donde el tensor de Ricci desaparece y la curvatura es descrita completamente por el tensor de Weyl. Así, en el vacío, las ecuaciones de campo de Einstein son equivalentes a la ecuación de onda homogénea en perfecta analogía con la ecuación de la onda de vacío del electromagnético de cuatro potenciales. Esto muestra una similitud formal entre ondas gravitacionales y ondas electromagnéticas , con el tensor de Lanczos muy adecuado para estudiar ondas gravitacionales. [15]
En la aproximación de campo débil donde , una forma conveniente para el tensor de Lanczos en la galga de Lanczos es [14]
Ejemplo
El caso no trivial más básico para expresar el tensor de Lanczos es, por supuesto, la métrica de Schwarzschild . [4] La representación de componentes explícita más simple en unidades naturales para el tensor de Lanczos en este caso es
con todos los demás componentes desapareciendo hasta convertirse en simetrías. Esta forma, sin embargo, no está en el calibre Lanczos. Los términos que no desaparecen del tensor de Lanczos en el indicador de Lanczos son
Además, es posible demostrar, incluso en este caso simple, que el tensor de Lanczos en general no puede reducirse a una combinación lineal de los coeficientes de espín del formalismo de Newman-Penrose , que da fe de la naturaleza fundamental del tensor de Lanczos. [11] Se han utilizado cálculos similares para construir soluciones arbitrarias de tipo D de Petrov . [dieciséis]
Ver también
- Tensor de Bach
- Cálculo de Ricci
- Tensor de Schouten
- acción palatini tetradica
- Acción Palatini auto-dual
Referencias
- ↑ a b Hyôitirô Takeno, "Sobre el spintensor de Lanczos", Tensor , 15 (1964) pp. 103-119.
- ^ a b Cornelius Lanczos, "Multiplicador lagrangiano y espacios riemannianos", Rev. Mod. Phys. , 21 (1949) págs. 497–502. doi : 10.1103 / RevModPhys.21.497
- ^ a b P. O'Donnell y H. Pye, "Una breve revisión histórica de los importantes avances en la teoría del potencial de Lanczos", EJTP , 7 (2010) pp. 327-350. www .ejtp .com / articles / ejtpv7i24p327 .pdf
- ^ a b c M. Novello y AL Velloso, "La conexión entre los observadores generales y el potencial de Lanczos", Relatividad general y gravitación , 19 (1987) pp. 1251-1265. doi : 10.1007 / BF00759104
- ^ Cornelius Lanczos, "La división del tensor de Riemann", Rev. Mod. Phys. , 34 (1962) págs. 379–389. doi : 10.1103 / RevModPhys.34.379
- ^ Cornelius Lanczos, "Una propiedad notable del tensor de Riemann-Christoffel en cuatro dimensiones", Annals of Mathematics , 39 (1938) pp. 842-850. www .jstor .org / stable / 1968467
- ^ a b F. Bampi y G. Caviglia, "Tensores de potencial de tercer orden para los tensores de Riemann y Weyl", Relatividad general y gravitación , 15 (1983) págs. 375-386. doi : 10.1007 / BF00759166
- ^ SB Edgar, "Inexistencia del potencial de Lanczos para el tensor de Riemann en dimensiones superiores", Gravitación y relatividad general , 26 (1994) pp. 329–332. doi : 10.1007 / BF02108015
- ^ E. Massa y E. Pagani, "¿Es el tensor de Riemann derivable de un potencial tensorial?", Relatividad general y gravitación , 16 (1984) pp. 805-816. doi : 10.1007 / BF00762934
- ^ Curtright, Thomas (diciembre de 1985). "Campos de calibre generalizados". Physics Letters B . 165 (4–6): 304–308. Código Bibliográfico : 1985PhLB..165..304C . doi : 10.1016 / 0370-2693 (85) 91235-3 .
- ^ a b P. O'Donnell, "Una solución de las ecuaciones de Weyl-Lanczos para el espacio-tiempo de Schwarzschild", Relatividad general y gravitación , 36 (2004) pp. 1415-1422. doi : 10.1023 / B: GERG.0000022577.11259.e0
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- ^ Zafar Ahsan y Mohd Bilal, "Una solución de ecuaciones de Weyl-Lanczos para espaciotiempos de vacío arbitrarios de Petrov tipo D". Int J Theor Phys 49 (2010) 2713-2722. doi : 10.1007 / s10773-010-0464-5
enlaces externos
- Peter O'Donnell, Introducción a los 2-espinores en la relatividad general . World Scientific , 2003.