Cinética de órbitas circulares
Línea mundial de una órbita circular alrededor de la Tierra representada en dos dimensiones espaciales X e Y (el plano de la órbita) y una dimensión de tiempo, generalmente puesta como eje vertical. Tenga en cuenta que la órbita alrededor de la Tierra es un círculo en el espacio, pero su línea de mundo es una hélice en el espacio-tiempo.
Para mayor precisión, considere una órbita terrestre circular ( línea del mundo helicoidal ) de una partícula. La partícula viaja con rapidez v. Un observador en la tierra ve que la longitud se contrae en el marco de la partícula. Una vara de medir que viaja con la partícula parece más corta para el observador de la Tierra. Por lo tanto, la circunferencia de la órbita, que está en la dirección del movimiento, parece más larga queveces el diámetro de la órbita. [1]
En relatividad especial, la 4-velocidad propia de la partícula en el marco inercial (no acelerador) de la Tierra es
donde c es la velocidad de la luz , es la velocidad 3, y es
- .
La magnitud del vector de 4 velocidades es siempre constante
donde estamos usando una métrica de Minkowski
- .
La magnitud de la velocidad 4 es, por tanto, un escalar de Lorentz .
La 4-aceleración en el marco de la tierra (sin aceleración) es
dónde es c veces el intervalo de tiempo adecuado medido en el marco de la partícula. Esto está relacionado con el intervalo de tiempo en el marco de la Tierra por
- .
Aquí, la aceleración 3 para una órbita circular es
dónde es la velocidad angular de la partícula giratoria y es la posición 3 de la partícula.
La magnitud de la velocidad 4 es constante. Esto implica que la aceleración 4 debe ser perpendicular a la velocidad 4. Por lo tanto, el producto interno de la 4 aceleración y la 4 velocidades es siempre cero. El producto interno es un escalar de Lorentz .
Curvatura del espacio-tiempo: ecuación geodésica
La ecuación para la aceleración se puede generalizar, dando como resultado la ecuación geodésica
dónde es la posición 4 de la partícula y es el tensor de curvatura dado por
dónde es la función delta de Kronecker , y tenemos las restricciones
y
- .
Se verifica fácilmente que las órbitas circulares satisfacen la ecuación geodésica. La ecuación geodésica es en realidad más general. Las órbitas circulares son una solución particular de la ecuación. Se permiten y son válidas otras soluciones que no sean órbitas circulares.
Tensor y traza de curvatura de Ricci
El tensor de curvatura de Ricci es un tensor de curvatura especial dado por la contracción
- .
El rastro del tensor de Ricci, llamado curvatura escalar , es
- .
La ecuación geodésica en un sistema de coordenadas local.
Órbitas circulares en el mismo radio
Considere la situación en la que ahora hay dos partículas en órbitas polares circulares cercanas de la Tierra en un radio y velocidad .
Las partículas ejecutan un movimiento armónico simple alrededor de la tierra y entre sí. Están a su máxima distancia entre sí cuando cruzan el ecuador. Sus trayectorias se cruzan en los polos.
Imagina que tenemos una nave espacial que se mueve conjuntamente con una de las partículas. El techo de la nave, el dirección, coincide con la dirección. El frente de la nave está en el dirección, y la la dirección está a la izquierda de la nave. La nave espacial es pequeña en comparación con el tamaño de la órbita, por lo que la trama local es una trama de Lorentz local. La separación en 4 de las dos partículas está dada por. En el marco local de la nave espacial, la ecuación geodésica viene dada por
dónde
y
es el tensor de curvatura en el marco local.
Ecuación geodésica como derivada covariante
La ecuación de movimiento de una partícula en el espacio-tiempo plano y en ausencia de fuerzas es
- .
Si requerimos que una partícula viaje a lo largo de una geodésica en el espaciotiempo curvo, entonces la expresión análoga en el espaciotiempo curvo es
donde la derivada de la izquierda es la derivada covariante , que es la generalización de la derivada normal a una derivada en el espacio-tiempo curvo. Aquí
es un símbolo de Christoffel .
La curvatura está relacionada con el símbolo de Christoffel por
- .
Tensor métrico en el marco local
El intervalo en el marco local es
dónde
- es el ángulo con el eje (longitud) y
- es el ángulo con el eje (latitud).
Esto da una métrica de
en el marco local.
El inverso del tensor métrico se define de tal manera que
donde el término de la derecha es el delta de Kronecker .
La transformación del volumen infinitesimal de 4 es
donde g es el determinante del tensor métrico.
El diferencial del determinante del tensor métrico es
- .
La relación entre los símbolos de Christoffel y el tensor métrico es
- .
Principio de mínima acción en la relatividad general.
El principio de acción mínima establece que la línea del mundo entre dos eventos en el espacio-tiempo es esa línea del mundo que minimiza la acción entre los dos eventos. En la mecánica clásica, el principio de mínima acción se utiliza para derivar las leyes del movimiento de Newton y es la base de la dinámica lagrangiana . En relatividad se expresa como
entre los eventos 1 y 2 es un mínimo. Aquí S es un escalar y
se conoce como densidad lagrangiana . La densidad de Lagrange se divide en dos partes, la densidad de la partícula en órbita y la densidad del campo gravitacional generado por todas las demás partículas, incluidas las que comprenden la tierra,
- .
En el espacio-tiempo curvo , la línea del mundo "más corta" es la geodésica que minimiza la curvatura a lo largo de la geodésica. La acción entonces es proporcional a la curvatura de la línea del mundo. Dado que S es un escalar, la curvatura escalar es la medida apropiada de curvatura. Por tanto, la acción de la partícula es
dónde es una constante desconocida. Esta constante se determinará exigiendo que la teoría se reduzca a la ley de gravitación de Newton en el límite no relativista.
La densidad lagrangiana de la partícula es por tanto
- .
La acción de la partícula y la tierra es
- .
Encontramos la línea del mundo que se encuentra en la superficie de la esfera de radio r variando el tensor métrico. La minimización y el descuido de los términos que desaparecen en los límites, incluidos los términos de segundo orden en la derivada de g, produce
donde [2]
es el tensor de tensión-energía de Hilbert del campo generado por la tierra.
La relación, dentro de un factor constante desconocido, entre la energía de tensión y la curvatura es
- .
Ley de gravitación de Newton
Diagrama 1. Vistas cambiantes del espacio-tiempo a lo largo de la
línea del mundo de un observador que se acelera rápidamente. En esta animación, la línea punteada es la trayectoria del espacio-tiempo (" línea del mundo ") de una partícula. Las bolas se colocan a intervalos regulares de tiempo adecuado a lo largo de la línea mundial. Las líneas diagonales continuas son los conos de luz para el evento actual del observador y se cruzan en ese evento. Los pequeños puntos son otros eventos arbitrarios en el espacio-tiempo. Para el marco de referencia inercial instantáneo actual del observador, la dirección vertical indica el tiempo y la dirección horizontal indica la distancia. La pendiente de la línea del mundo (desviación de ser vertical) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea del mundo. Entonces, en una curva de la línea del mundo, la partícula se acelera. Observe cómo cambia la visión del espacio-tiempo cuando el observador acelera, cambiando el marco de referencia inercial instantáneo. Estos cambios se rigen por las transformaciones de Lorentz. También tenga en cuenta que: * las bolas en la línea del mundo antes / después de las aceleraciones futuras / pasadas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo. * los eventos que eran simultáneos antes de una aceleración lo son en diferentes momentos después (debido a la relatividad de la simultaneidad ), * los eventos pasan a través de las líneas del cono de luz debido a la progresión del tiempo adecuado, pero no debido al cambio de visión causado por las aceleraciones , y * la línea del mundo siempre permanece dentro de los conos de luz futuros y pasados del evento actual.
La ley de gravitación de Newton en la mecánica no relativista establece que la aceleración en un objeto de masa debido a otro objeto de masa es igual a
dónde es la constante gravitacional , es un vector de masa a misa y es la magnitud de ese vector. El tiempo t se escala con la velocidad de la luz c
- .
La aceleración es independiente de .
Por precisión. considera una partícula de masa orbitando en el campo gravitacional de la tierra con masa . La ley de la gravitación se puede escribir
dónde es la densidad de masa promedio dentro de una esfera de radio.
Fuerza gravitacional en términos de la componente 00 del tensor tensión-energía
La ley de Newton se puede escribir
- .
dónde es el volumen de una esfera de radio. La cantidadserá reconocida por la relatividad especial como la energía en reposo del cuerpo grande, la tierra. Esta es la suma de las energías en reposo de todas las partículas que componen la tierra. La cantidad entre paréntesis es entonces la densidad de energía en reposo promedio de una esfera de radiosobre la tierra. El campo gravitacional es proporcional a la densidad de energía promedio dentro de un radio r. Este es el componente 00 del tensor de tensión-energía en relatividad para el caso especial en el que toda la energía es energía en reposo. Más generalmente
dónde
y es la velocidad de la partícula i que forma la tierra y en el resto masa de la partícula i. Hay partículas de N que forman la tierra.
Generalización relativista de la densidad energética
Los componentes del tensor estrés-energía
Hay dos entidades relativistas simples que se reducen al componente 00 del tensor tensión-energía en el límite no relativista
y el rastro
dónde es la 4 velocidades.
El componente 00 del tensor tensión-energía se puede generalizar al caso relativista como una combinación lineal de los dos términos
dónde
4-aceleración debido a la gravedad
La aceleración 4 debida a la gravedad se puede escribir
- .
Desafortunadamente, esta aceleración es distinta de cero para como se requiere para órbitas circulares. Dado que la magnitud de la velocidad 4 es constante, es solo el componente de la fuerza perpendicular a la velocidad 4 lo que contribuye a la aceleración. Por lo tanto, debemos restar la componente de fuerza paralela a la velocidad 4. Esto se conoce como transporte Fermi-Walker . [3] En otras palabras,
- .
Esto produce
- .
La fuerza en el marco local es
- .
Visualización bidimensional de la distorsión del espacio-tiempo. La presencia de materia cambia la geometría del espacio-tiempo, esta geometría (curva) se interpreta como gravedad.
Obtenemos la ecuación de campo de Einstein [4] al igualar la aceleración requerida para órbitas circulares con la aceleración debida a la gravedad.
- .
Ésta es la relación entre la curvatura del espacio-tiempo y el tensor de tensión-energía.
El tensor de Ricci se convierte en
- .
El rastro del tensor de Ricci es
- .
Comparación del tensor de Ricci con el tensor de Ricci calculado a partir del principio de mínima acción, Motivación teórica de la relatividad general # Principio de mínima acción en relatividad general identificando el tensor tensión-energía con la tensión-energía de Hilbert, y recordando que A + B = 1 elimina la ambigüedad en A, B y C.
y
- .
Esto da
- .
La ecuación de campo se puede escribir
dónde
- .
Esta es la ecuación de campo de Einstein que describe la curvatura del espacio-tiempo que resulta de la densidad de energía-esfuerzo. Esta ecuación, junto con la ecuación geodésica, han sido motivadas por la cinética y dinámica de una partícula que orbita la Tierra en una órbita circular. Son verdad en general.
Resolver la ecuación de campo de Einstein requiere un proceso iterativo. La solución se representa en el tensor métrico
- .
Por lo general, hay una suposición inicial para el tensor. La conjetura se utiliza para calcular los símbolos de Christoffel , que se utilizan para calcular la curvatura. Si no se satisface la ecuación de campo de Einstein, se repite el proceso.
Las soluciones se presentan en dos formas, soluciones al vacío y soluciones sin vacío. Una solución de vacío es aquella en la que el tensor de tensión-energía es cero. La solución de vacío relevante para órbitas circulares es la métrica de Schwarzschild . También hay una serie de soluciones exactas que son soluciones sin vacío, soluciones en las que el tensor de tensión no es cero.
Las ecuaciones de Maxwell , las ecuaciones de la electrodinámica, en el espacio-tiempo curvo son una generalización de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo plano (ver Formulación de las ecuaciones de Maxwell en relatividad especial ). La curvatura del espacio-tiempo afecta la electrodinámica. Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo se pueden obtener reemplazando las derivadas en las ecuaciones en el espacio-tiempo plano con derivadas covariantes . Las ecuaciones con fuente y sin fuente se convierten en (unidades cgs):
- ,
y
dónde es la corriente 4 ,es el tensor de intensidad de campo ,es el símbolo de Levi-Civita , y
es el gradiente 4 . Los índices repetidos se suman de acuerdo con la convención de suma de Einstein . Hemos mostrado los resultados en varias notaciones comunes.
La primera ecuación tensorial es una expresión de las dos ecuaciones no homogéneas de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère con la corrección de Maxwell . La segunda ecuación es una expresión de las ecuaciones homogéneas, la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo .
La ecuación de onda electromagnética se modifica a partir de la ecuación en el espacio-tiempo plano de dos formas, la derivada se reemplaza con la derivada covariante y aparece un nuevo término que depende de la curvatura.
donde el 4-potencial se define de manera que
- .
Hemos asumido la generalización de la galga de Lorenz en el espacio-tiempo curvo.
- .