En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , una categoría posetal , o categoría delgada , [1] es una categoría cuyos homsets contienen cada uno como máximo un morfismo. Como tal, una categoría posetal equivale a una clase preordenada (o un conjunto preordenado , si sus objetos forman un conjunto ). Como sugiere el nombre, el requisito adicional de que la categoría sea esqueléticase asume a menudo para la definición de "posetal"; en el caso de una categoría que es posetal, ser esquelético equivale al requisito de que los únicos isomorfismos son los morfismos de identidad, lo que equivale a que la clase preordenada satisfaga la antisimetría y, por tanto, si es un conjunto, es un poset .
Todos los diagramas se desplazan en una categoría postal. Cuando los diagramas conmutativos de una categoría se interpretan como una teoría de ecuaciones tipificada cuyos objetos son los tipos, una categoría posetal codiscreta corresponde a una teoría inconsistente entendida como una que satisface el axioma x = y en todos los tipos.
Viendo una categoría 2 como una categoría enriquecida cuyos hom-objetos son categorías, los hom-objetos de cualquier extensión de una categoría posetal a una categoría 2 que tiene las mismas 1-celdas son monoides .
Algunas estructuras de la teoría de la celosía se pueden definir como categorías posestales de cierto tipo, generalmente con el supuesto más fuerte de que son esqueléticas. Por ejemplo, bajo esta suposición, un poset puede definirse como una categoría posetal pequeña, un retículo distributivo como una categoría distributiva posestal pequeña , un álgebra de Heyting como una categoría cerrada cartesiana finitamente cocompleta pequeña posetal y un álgebra booleana como una categoría postal pequeña finitamente. cocompleto * -categoría autónoma . A la inversa, las categorías, las categorías distributivas, las categorías cerradas cartesianas finitamente cocompletas y las categorías autónomas * finitamente cocompletas pueden considerarse las respectivas categorías de posets, redes distributivas, álgebras de Heyting y álgebras booleanas.