En geometría métrica , un espacio métrico inyectivo , o equivalentemente un espacio métrico hiperconvexo , es un espacio métrico con ciertas propiedades que generalizan las de la línea real y de las distancias L ∞ en espacios vectoriales de dimensiones superiores . Estas propiedades se pueden definir de dos formas aparentemente diferentes: la hiperconvexidad implica las propiedades de intersección de bolas cerradas en el espacio, mientras que la inyectividad implica las incrustaciones isométricas del espacio en espacios más grandes. Sin embargo, es un teorema de Aronszajn y Panitchpakdi ( 1956 ; véase, por ejemplo, Chepoi 1997) que estos dos tipos diferentes de definiciones son equivalentes.
Hiperconvexidad
Se dice que un espacio métrico X es hiperconvexo si es convexo y sus bolas cerradas tienen la propiedad binaria de Helly . Es decir,
- cualesquiera dos puntos x y y se pueden conectar por la imagen isométrica de un segmento de línea de longitud igual a la distancia entre los puntos (es decir, X es un espacio ruta de acceso), y
- si F es cualquier familia de bolas cerradas
- de tal manera que cada par de bolas en F se encuentran, entonces existe un punto x común a todas las bolas en F .
De manera equivalente, si un conjunto de puntos p i y radios r i > 0 satisface r i + r j ≥ d ( p i , p j ) para cada i y j , entonces hay un punto q del espacio métrico que está dentro de la distancia r i de cada p i .
Inyectividad
Una retracción de un espacio métrico X es una función ƒ mapeando X a un subespacio de sí mismo, tal que
- para todo x , ƒ ( ƒ ( x )) = ƒ ( x ); es decir, f es la función de identidad en su imagen (es decir, es idempotente ), y
- para todos los x y y , d ( ƒ ( x ), ƒ ( y )) ≤ d ( x , y ); es decir, f no es expansivo .
Una retracción de un espacio X es un subespacio de X que es una imagen de una retracción. Un espacio métrico X se dice que es inyectiva si, cada vez que X es isométrica a un subespacio Z de un espacio Y , que subespacio Z es un retracto de Y .
Ejemplos de
Ejemplos de espacios métricos hiperconvexos incluyen
- La linea real
- Cualquier espacio vectorial R d con la distancia L ∞
- Distancia de Manhattan ( L 1 ) en el plano (que equivale a rotación y escalado a L ∞ ), pero no en dimensiones superiores
- El estrecho espacio de un espacio métrico
- Cualquier árbol real
- Aim ( X ): consulte Espacio métrico dirigido a su subespacio
Debido a la equivalencia entre hiperconvexidad e inyectividad, estos espacios también son inyectivos.
Propiedades
En un espacio inyectiva, el radio de la bola mínimo que contiene cualquier conjunto S es igual a la mitad del diámetro de S . Esto se deduce de que las bolas de radio la mitad del diámetro, centradas en los puntos de S , se cruzan por pares y por lo tanto por hiperconvexidad tienen una intersección común; una bola de radio de la mitad del diámetro centrado en un punto de esta intersección común contiene todos los S . Por tanto, los espacios inyectivos satisfacen una forma particularmente fuerte del teorema de Jung .
Cada espacio inyectivo es un espacio completo ( Aronszajn y Panitchpakdi 1956 ), y cada mapa métrico (o, de manera equivalente, mapeo no expansivo o mapa corto ) en un espacio inyectivo acotado tiene un punto fijo ( Sine 1979 ; ( Soardi 1979 )). Un espacio métrico es inyectivo si y solo si es un objeto inyectivo en la categoría de espacios métricos y mapas métricos . Para conocer las propiedades adicionales de los espacios inyectivos, ver Espínola & Khamsi (2001) .
Referencias
- Aronszajn, N .; Panitchpakdi, P. (1956). "Extensiones de transformaciones uniformemente continuas y espacios métricos hiperconvexos" . Pacific Journal of Mathematics . 6 : 405–439. doi : 10.2140 / pjm.1956.6.405 . Señor 0084762 .Corrección (1957), Pacific J. Math. 7 : 1729, señor0092146 .
- Chepoi, Victor (1997). "Un enfoque T X de algunos resultados en recortes y métricas". Avances en Matemática Aplicada . 19 (4): 453–470. doi : 10.1006 / aama.1997.0549 . Señor 1479014 .
- Espínola, R .; Khamsi, MA (2001). "Introducción a los espacios hiperconvexos" (PDF) . En Kirk, WA; Sims B. (eds.). Manual de teoría del punto fijo métrico . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Señor 1904284 .
- Isbell, JR (1964). "Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos". Commentarii Mathematici Helvetici . 39 : 65–76. doi : 10.1007 / BF02566944 . Señor 0182949 .
- Sine, RC (1979). "Sobre semigrupos de contracción no lineal en espacios sup norm". Análisis no lineal . 3 (6): 885–890. doi : 10.1016 / 0362-546X (79) 90055-5 . Señor 0548959 .
- Soardi, P. (1979). "Existencia de puntos fijos de mapeos no expansivos en ciertas celosías de Banach" . Actas de la American Mathematical Society . 73 (1): 25-29. doi : 10.2307 / 2042874 . JSTOR 2042874 . Señor 0512051 .