En muchas aplicaciones, es necesario calcular la tasa de cambio de una integral de volumen o superficie cuyo dominio de integración , así como el integrando , son funciones de un parámetro particular. En aplicaciones físicas, ese parámetro es frecuentemente el tiempo t .
Introducción
La tasa de cambio de integrales unidimensionales con integrandos suficientemente suaves se rige por esta extensión del teorema fundamental del cálculo :
El cálculo de superficies móviles [1] proporciona fórmulas análogas para integrales de volumen sobre dominios euclidianos e integrales de superficie sobre geometría diferencial de superficies , superficies curvas, incluidas integrales sobre superficies curvas con límites de contorno en movimiento .
Integrales de volumen
Vamos t sea un tiempo-como parámetro y considerar un dependiente del tiempo de dominio Ω con una suave superficie límite S . Sea F un campo invariante dependiente del tiempo definido en el interior de Ω. Entonces la tasa de cambio de la integral
se rige por la siguiente ley: [1]
donde C es la velocidad de la interfaz . La velocidad de la interfaz C es el concepto fundamental en el cálculo de superficies móviles . En la ecuación anterior, C debe expresarse con respecto a la normal exterior . Esta ley puede considerarse como la generalización del teorema fundamental del cálculo .
Integrales de superficie
Una ley relacionada rige la tasa de cambio de la integral de superficie
La ley lee
donde el - la derivada es el operador fundamental en el cálculo de superficies móviles , propuesto originalmente por Jacques Hadamard .es la traza del tensor de curvatura media . En esta ley, C no necesita ser expresión con respecto a la normal exterior, siempre que la elección de la normal sea consistente para C y. El primer término en la ecuación anterior captura la tasa de cambio en F, mientras que el segundo corrige el área de expansión o contracción. El hecho de que la curvatura media represente la tasa de cambio en el área se deriva de aplicar la ecuación anterior a desde es área:
La ecuación anterior muestra que la curvatura media se puede llamar apropiadamente el gradiente de forma del área. Una evolución regida por
es el flujo de curvatura media popular y representa el descenso más pronunciado con respecto al área. Tenga en cuenta que para una esfera de radio R ,, y para un círculo de radio R , con respecto a la normal exterior.
Integrales de superficie con límites de contorno en movimiento
Suponga que S es una superficie en movimiento con un contorno en movimiento γ. Suponga que la velocidad del contorno γ con respecto a S es c . Entonces la tasa de cambio de la integral dependiente del tiempo:
es
El último término captura el cambio de área debido a la anexión, como ilustra la figura de la derecha.