El cálculo de superficies móviles ( CMS ) [1] es una extensión del cálculo tensorial clásico a las variedades deformantes . Central para el CMS es la derivada de tiempo tensorialcuya definición original [2] fue propuesta por Jacques Hadamard . Desempeña un papel análogo al de la derivada covariante. en variedades diferenciales en el sentido de que produce un tensor cuando se aplica a un tensor.
Suponer que es la evolución de la superficie indexado por un parámetro similar al tiempo . Las definiciones de la velocidad superficial. y el operador son los cimientos geométricos del CMS. La velocidad C es la tasa de deformación de la superficie.en la dirección normal instantánea . El valor de en un punto se define como el límite
dónde es el punto en que se encuentra en la línea recta perpendicular a en el punto P. Esta definición se ilustra en la primera figura geométrica a continuación. La velocidad es una cantidad con signo: es positivo cuando apunta en la dirección de la normal elegida y negativo en caso contrario. La relación entre y es análogo a la relación entre ubicación y velocidad en cálculo elemental: conocer una de las cantidades permite que una construya la otra por diferenciación o integración .
La derivada del tiempo tensorial para un campo escalar F definido en es la tasa de cambio en en la dirección instantáneamente normal:
Esta definición también se ilustra en la segunda figura geométrica.
Las definiciones anteriores son geométricas . En entornos analíticos, es posible que no sea posible la aplicación directa de estas definiciones. El CMS proporciona definiciones analíticas de C yen términos de operaciones elementales de cálculo y geometría diferencial .
Definiciones analíticas
Para obtener definiciones analíticas de y , considere la evolución de dada por
dónde son coordenadas espaciales curvilíneas generales yson las coordenadas de la superficie. Por convención, se eliminan los índices tensoriales de los argumentos de funciones. Por tanto, las ecuaciones anteriores contienen en vez de . El objeto de velocidadse define como la derivada parcial
La velocidad se puede calcular más directamente mediante la fórmula
dónde son los componentes covariantes del vector normal .
Además, definir la representación del tensor de desplazamiento del espacio tangente de la superficie y la velocidad tangente como , entonces la definición del derivada para una F invariante lee
dónde es la derivada covariante de S.
Para los tensores , se necesita una generalización adecuada. La definición adecuada para un tensor representativo lee
dónde son los símbolos de Christoffel y son los símbolos temporales apropiados de la superficie ( es una representación matricial del operador de forma de curvatura de la superficie)
Propiedades del -derivado
La -derivado conmuta con contracción, satisface la regla del producto para cualquier colección de índices
y obedece una regla de cadena para restricciones superficiales de tensores espaciales:
La regla de la cadena muestra que - los derivados de "métricas" espaciales desaparecen
dónde y son tensores métricos covariantes y contravariantes ,es el símbolo delta de Kronecker , y y son los símbolos de Levi-Civita . El artículo principal sobre los símbolos de Levi-Civita los describe para sistemas de coordenadas cartesianos . La regla anterior es válida en coordenadas generales, donde la definición de los símbolos de Levi-Civita debe incluir la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico covariante..
Tabla de diferenciación para el -derivado
La derivada de los objetos clave de la superficie conduce a fórmulas muy concisas y atractivas. Cuando se aplica al tensor métrico de superficie covariante y el tensor métrico contravariante, las siguientes identidades resultan
dónde y son los tensores de curvatura doblemente covariantes y doblemente contravariantes . Estos tensores de curvatura, así como para el tensor de curvatura mixto, satisfacer
El tensor de cambio y lo normal satisfacer
Finalmente, los símbolos superficiales de Levi-Civita y satisfacer
Diferenciación temporal de integrales
El CMS proporciona reglas para la diferenciación temporal de integrales de volumen y superficie .
Referencias
- ^ Grinfeld, P. (2010). "Ecuaciones dinámicas hamiltonianas para películas fluidas". Estudios de Matemática Aplicada. doi : 10.1111 / j.1467-9590.2010.00485.x . ISSN 0022-2526 .
- ^ J. Hadamard, Leçons Sur La Propagation Des Ondes Et Les Équations de l'Hydrodynamique. París: Hermann, 1903.