En cálculo , la regla integral de Leibniz para la diferenciación bajo el signo de la integral, llamada así por Gottfried Leibniz , establece que para una integral de la forma
dónde , la derivada de esta integral se puede expresar como
donde la derivada parcial indica que dentro de la integral, solo se considera la variación de f ( x , t ) con x al tomar la derivada. [1] Tenga en cuenta que si y son constantes en lugar de funciones de, tenemos el caso especial:
Además, si y , que también es una situación común (por ejemplo, en la prueba de la fórmula de integración repetida de Cauchy), tenemos:
Así, bajo ciertas condiciones, se pueden intercambiar los operadores diferenciales parciales e integrales . Este importante resultado es particularmente útil en la diferenciación de transformadas integrales . Un ejemplo de ello es la función generadora de momentos en la teoría de la probabilidad , una variación de la transformada de Laplace , que se puede diferenciar para generar los momentos de una variable aleatoria . La aplicación de la regla integral de Leibniz es esencialmente una cuestión sobre el intercambio de límites .
Mayores dimensiones
La regla integral de Leibniz se puede extender a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla se conoce mejor en el campo de la dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds :
dónde es una función escalar, D ( t ) y ∂ D ( t ) denotan una región conectada que varía en el tiempo de R 3 y su límite, respectivamente,es la velocidad euleriano del límite (ver lagrangiana y las coordenadas de Euler ) y d Σ = n dS es la componente normal unidad de la superficie de elemento .
El enunciado general de la regla integral de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial , específicamente formas diferenciales , derivados exteriores , productos de cuña y productos interiores . Con esas herramientas, la regla integral de Leibniz en n dimensiones es [2]
donde Ω ( t ) es un dominio de integración variable en el tiempo, ω es una forma p , es el campo vectorial de la velocidad, denota el producto interior con, d x ω es la derivada exterior de ω con respecto a las variables espaciales solamente y es la derivada de ω en el tiempo.
Sin embargo, todas estas identidades se pueden derivar de una declaración más general sobre los derivados de Lie:
Aquí, el colector ambiental en el que la forma diferencial la vida incluye tanto el espacio como el tiempo.
- es la región de integración (una subvariedad) en un instante dado (no depende de , ya que su parametrización como subvarietal define su posición en el tiempo),
- es la derivada de Lie ,
- es el campo vectorial del espacio-tiempo obtenido al agregar el campo vectorial unitario en la dirección del tiempo al campo vectorial puramente espacial de las fórmulas anteriores (es decir, es la velocidad espaciotemporal de ),
- es un difeomorfismo del grupo de un parámetro generado por el flujo de , y
- es la imagen de bajo tal difeomorfismo.
Algo notable acerca de esta forma es que puede explicar el caso cuando cambia su forma y tamaño con el tiempo, ya que tales deformaciones están completamente determinadas por .
Declaración de la teoría de la medida
Dejar ser un subconjunto abierto de , y ser un espacio de medida . Suponer cumple las siguientes condiciones:
- es una función integrable de Lebesgue de para cada .
- Para casi todos , la derivada existe para todos .
- Hay una función integrable tal que para todos y casi todos .
Entonces, para todos ,
La demostración se basa en el teorema de convergencia dominado y el teorema del valor medio (detalles a continuación).
Pruebas
Prueba de forma básica
En primer lugar, demostramos el caso de límites constantes de integración una y b .
Usamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para cada x y h , tal que h > 0 y tanto x como x + h están dentro de [ x 0 , x 1 ], tenemos:
Tenga en cuenta que las integrales en cuestión están bien definidas ya que es continuo en el rectángulo cerrado y así también allí uniformemente continuo; así, sus integrales por dt o dx son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente esto se debe a que para funciones uniformemente continuas, uno puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica más adelante).
Por lo tanto:
Donde hemos definido:
(podemos reemplazar x 0 aquí por cualquier otro punto entre x 0 y x )
F es diferenciable con derivada, por lo que podemos tomar el límite donde h se acerca a cero. Para el lado izquierdo, este límite es:
Para el lado derecho, obtenemos:
Y así probamos el resultado deseado:
Otra prueba usando el teorema de convergencia acotada
Si las integrales en cuestión son integrales de Lebesgue , podemos usar el teorema de convergencia acotada (válido para estas integrales, pero no para integrales de Riemann ) para mostrar que el límite puede pasar a través del signo de la integral.
Tenga en cuenta que esta demostración es más débil en el sentido de que solo muestra que f x ( x , t ) es integrable de Lebesgue, pero no que es integrable de Riemann. En la prueba anterior (más fuerte), si f ( x , t ) es integrable de Riemann, entonces también lo es f x ( x , t ) (y, por lo tanto, obviamente también es integrable de Lebesgue).
Dejar
( 1 )
Por la definición de la derivada,
( 2 )
Sustituya la ecuación ( 1 ) en la ecuación ( 2 ). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia, y 1 / h es una constante, por lo que
Ahora mostramos que el límite se puede pasar a través del signo integral.
Afirmamos que el paso del límite bajo el signo integral es válido por el teorema de la convergencia acotada (un corolario del teorema de la convergencia dominada ). Para cada δ > 0, considere el cociente de diferencias
Para t fijo, el teorema del valor medio implica que existe z en el intervalo [ x , x + δ ] tal que
La continuidad de f x ( x , t ) y la compacidad del dominio juntas implican que f x ( x , t ) está acotada. La aplicación anterior del teorema del valor medio, por lo tanto, da un uniforme (independiente de) atado en . Los cocientes de diferencias convergen puntualmente a la derivada parcial f x asumiendo que existe la derivada parcial.
El argumento anterior muestra que para cada secuencia { δ n } → 0, la secuenciaestá uniformemente acotado y converge puntualmente af x . El teorema de la convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medidas finitas está uniformemente acotada y converge puntualmente, entonces el paso del límite por debajo de la integral es válido. En particular, el límite y la integral se pueden intercambiar para cada secuencia { δ n } → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 se puede pasar a través del signo de la integral.
Formulario de límites variables
Para una función continua de valor real g de una variable real , y funciones diferenciables de valor real y de una variable real,
Esto se sigue de la regla de la cadena y del primer teorema fundamental del cálculo . Definir
- ,
y
- . (El límite inferior solo tiene que ser un número en el dominio de )
Luego, se puede escribir como una composición :. La regla de la cadena implica entonces que
- .
Según el primer teorema fundamental del cálculo ,. Por lo tanto, sustituyendo este resultado anterior, obtenemos la ecuación deseada:
- .
Nota: Este formulario puede ser particularmente útil si la expresión a diferenciar tiene el siguiente formato:
Porque no depende de los límites de integración, se puede mover desde debajo del signo integral, y la forma anterior se puede usar con la regla del Producto , es decir
Forma general con límites variables
Colocar
donde un y b son funciones de α que incrementos de exhibición delta una y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Luego,
Una forma del teorema del valor medio ,, donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, dando como resultado
Dividir por Delta alpha y dejar Delta alpha → 0. Aviso ξ 1 → una y ξ 2 → b . Podemos pasar el límite a través del signo integral:
nuevamente por el teorema de convergencia acotada. Esto produce la forma general de la regla integral de Leibniz,
Prueba alternativa de forma general con límites variables, utilizando la regla de la cadena
La forma general de la regla integral de Leibniz con límites variables se puede derivar como consecuencia de la forma básica de la regla integral de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el primer teorema fundamental del cálculo . Suponer se define en un rectángulo en el avión, para y . Además, asume y la derivada parcial son funciones continuas en este rectángulo. Suponerson funciones diferenciables de valor real definidas en, con valores en (es decir, para cada ). Ahora, establezca
- , para y
y
- , para
Entonces, por las propiedades de las integrales definidas , podemos escribir
Dado que las funciones son diferenciables (ver el comentario al final de la demostración), por la regla de la cadena multivariable , se sigue que es diferenciable, y su derivada viene dada por la fórmula:
Ahora, tenga en cuenta que para cada y por cada , tenemos eso , porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , estamos manteniendo fijo en la expresión ; por tanto, se aplica la forma básica de la regla integral de Leibniz con límites constantes de integración. A continuación, según el primer teorema fundamental del cálculo , tenemos que; porque al tomar la derivada parcial con respecto a de , la primera variable es fijo, por lo que el teorema fundamental se puede aplicar.
Sustituyendo estos resultados en la ecuación para arriba da:
como se desee.
Hay un punto técnico en la demostración anterior que vale la pena señalar: aplicar la regla de la cadena a requiere que ya sea diferenciable . Aquí es donde usamos nuestras suposiciones sobre. Como se mencionó anteriormente, las derivadas parciales de están dadas por las fórmulas y . Desdees continua, su integral también es una función continua, [3] y dado que también es continua, estos dos resultados muestran que tanto las derivadas parciales de son continuos. Dado que la continuidad de las derivadas parciales implica la diferenciabilidad de la función, [4] es de hecho diferenciable.
Forma tridimensional dependiente del tiempo
En el momento t, la superficie Σ en la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centroide. La función Se puede escribir como
con independiente del tiempo. Las variables se desplazan a un nuevo marco de referencia adjunto a la superficie móvil, con origen en. Para una superficie de traslación rígida, los límites de integración son independientes del tiempo, por lo que:
donde los límites de integración que limitan la integral a la región Σ ya no dependen del tiempo, por lo que la diferenciación pasa por la integración para actuar solo sobre el integrando:
con la velocidad de movimiento de la superficie definida por
Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas adjunto a la superficie en movimiento. Una vez encontrada la derivada, las variables se pueden cambiar al marco de referencia original. Notamos que (ver artículo sobre curl )
y que el teorema de Stokes iguala la integral de superficie del rizo sobre Σ con una integral de línea sobre ∂Σ:
El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea d s . Para establecer este signo, por ejemplo, suponga que el campo F apunta en la dirección z positiva , y la superficie Σ es una porción del plano xy con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ para que esté en la dirección z positiva . El recorrido positivo de ∂Σ es entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z ). Entonces, la integral del lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Suponga que Σ se traduce en la dirección x positiva a la velocidad v . Un elemento del límite de Σ paralelo al eje y , digamos d s , barre un área v t × d s en el tiempo t . Si integramos alrededor del límite ∂Σ en sentido antihorario, v t × d s apunta en la dirección z negativa en el lado izquierdo de ∂Σ (donde d s apunta hacia abajo), y en la dirección z positiva a la derecha lado de ∂Σ (donde d s apunta hacia arriba), lo cual tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, agregando área a la derecha y perdiéndola a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar v × F • d s = - F × v • d s = - F • v × d s . En consecuencia, el signo de la integral de línea se toma como negativo.
Si v es una constante,
que es el resultado citado. Esta prueba no considera la posibilidad de que la superficie se deforme a medida que se mueve.
Derivación alternativa
Lema. Uno tiene:
Prueba. De la demostración del teorema fundamental del cálculo ,
y
Supongamos un y b son constantes, y que f ( x ) implica una α parámetro que es constante en la integración pero puede variar para formar diferentes integrales. Suponga que f ( x , α ) es una función continua de x y α en el conjunto compacto {( x , α ): α 0 ≤ α ≤ α 1 y a ≤ x ≤ b }, y que la derivada parcial f α ( x , α ) existe y es continua. Si uno define:
luego puede diferenciarse con respecto a α diferenciando bajo el signo integral, es decir,
Según el teorema de Heine-Cantor , es uniformemente continuo en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier ε > 0 existe Δα tal que para todos los valores de x en [ a , b ],
Por otro lado,
Por tanto, φ (α) es una función continua.
Similarmente si existe y es continuo, entonces para todo ε> 0 existe Δα tal que:
Por lo tanto,
dónde
Ahora, ε → 0 cuando Δ α → 0, entonces
Esta es la fórmula que nos propusimos probar.
Ahora suponga
donde un y b son funciones de α que tienen incrementos delta una y Δ b , respectivamente, cuando α se incrementa en Δ α . Luego,
Una forma del teorema del valor medio ,donde a < ξ < b , se puede aplicar a la primera y última integrales de la fórmula para Δ φ anterior, lo que resulta en
Dividiendo por Delta alpha , dejando Delta alpha → 0, notando ξ 1 → una y ξ 2 → b y el uso de la derivación anteriormente para
rendimientos
Ésta es la forma general de la regla integral de Leibniz.
Ejemplos de
Ejemplo 1: límites fijos
Considere la función
La función bajo el signo integral no es continua en el punto ( x , α ) = (0, 0), y la función φ ( α ) tiene una discontinuidad en α = 0 porque φ ( α ) se acerca a ± π / 2 cuando α → 0 ± .
Si diferenciamos φ ( α ) con respecto a α bajo el signo integral, obtenemos
lo cual es, por supuesto, cierto para todos los valores de α excepto α = 0. Esto puede integrarse (con respecto a α ) para encontrar
Ejemplo 2: límites variables
Un ejemplo con límites variables:
Aplicaciones
Evaluating definite integrals
The formula
can be of use when evaluating certain definite integrals. When used in this context, the Leibniz integral rule for differentiating under the integral sign is also known as Feynman's trick for integration.
Example 4
First we calculate:
The limits of integration being independent of , we have:
On the other hand:
Equating these two relations then yields
In a similar fashion, pursuing yields
Adding the two results then produces
which computes as desired.
This derivation may be generalized. Note that if we define
it can easily be shown that
Given , this integral reduction formula can be used to compute all of the values of for . Integrals like and may also be handled using the Weierstrass substitution.
Example 5
Here, we consider the integral
Differentiating under the integral with respect to , we have
Therefore:
But by definition so and
Example 6
Here, we consider the integral
We introduce a new variable φ and rewrite the integral as
When φ = 1 this equals the original integral. However, this more general integral may be differentiated with respect to :
Now, fix φ, and consider the vector field on defined by . Further, choose the positive oriented parametrization of the unit circle given by , , so that . Then the final integral above is precisely
the line integral of over . By Green's Theorem, this equals the double integral
where is the closed unit disc. Its integrand is identically 0, so is likewise identically zero. This implies that f(φ) is constant. The constant may be determined by evaluating at :
Therefore, the original integral also equals .
Other problems to solve
There are innumerable other integrals that can be solved using the technique of differentiation under the integral sign. For example, in each of the following cases, the original integral may be replaced by a similar integral having a new parameter :
The first integral, the Dirichlet integral, is absolutely convergent for positive α but only conditionally convergent when . Therefore, differentiation under the integral sign is easy to justify when , but proving that the resulting formula remains valid when requires some careful work.
Infinite series
The measure-theoretic version of differentiation under the integral sign also applies to summation (finite or infinite) by interpreting summation as counting measure. An example of an application is the fact that power series are differentiable in their radius of convergence.
En la cultura popular
Differentiation under the integral sign is mentioned in the late physicist Richard Feynman's best-selling memoir Surely You're Joking, Mr. Feynman! in the chapter "A Different Box of Tools". He describes learning it, while in high school, from an old text, Advanced Calculus (1926), by Frederick S. Woods (who was a professor of mathematics in the Massachusetts Institute of Technology). The technique was not often taught when Feynman later received his formal education in calculus, but using this technique, Feynman was able to solve otherwise difficult integration problems upon his arrival at graduate school at Princeton University:
One thing I never did learn was contour integration. I had learned to do integrals by various methods shown in a book that my high school physics teacher Mr. Bader had given me. One day he told me to stay after class. "Feynman," he said, "you talk too much and you make too much noise. I know why. You're bored. So I'm going to give you a book. You go up there in the back, in the corner, and study this book, and when you know everything that's in this book, you can talk again." So every physics class, I paid no attention to what was going on with Pascal's Law, or whatever they were doing. I was up in the back with this book: "Advanced Calculus", by Woods. Bader knew I had studied "Calculus for the Practical Man" a little bit, so he gave me the real works—it was for a junior or senior course in college. It had Fourier series, Bessel functions, determinants, elliptic functions—all kinds of wonderful stuff that I didn't know anything about. That book also showed how to differentiate parameters under the integral sign—it's a certain operation. It turns out that's not taught very much in the universities; they don't emphasize it. But I caught on how to use that method, and I used that one damn tool again and again. So because I was self-taught using that book, I had peculiar methods of doing integrals. The result was, when guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral, it was because they couldn't do it with the standard methods they had learned in school. If it was contour integration, they would have found it; if it was a simple series expansion, they would have found it. Then I come along and try differentiating under the integral sign, and often it worked. So I got a great reputation for doing integrals, only because my box of tools was different from everybody else's, and they had tried all their tools on it before giving the problem to me.
Ver también
- Chain rule
- Differentiation of integrals
- Leibniz rule (generalized product rule)
- Reynolds transport theorem, a generalization of Leibniz rule
Referencias
- ^ Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Differentiation under the Integral Sign". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 421–426. ISBN 978-0-387-96058-6.
- ^ Cite error: The named reference
Flanders
was invoked but never defined (see the help page). - ^ Spivak, Michael (1994). Calculus (3 ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. pp. 267–268. ISBN 978-0-914098-89-8.
- ^ Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Addison-Wesley Publishing Company. p. 31. ISBN 978-0-8053-9021-6.
Otras lecturas
- Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Single Integrals: Leibnitz's Rule; Numerical Integration". Advanced Calculus and its Applications to the Engineering and Physical Sciences. New York: Wiley. pp. 155–165. ISBN 0-471-04934-4.
- Kaplan, Wilfred (1973). "Integrals Depending on a Parameter—Leibnitz's Rule". Advanced Calculus (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. pp. 285–288.
enlaces externos
- Harron, Rob. "The Leibniz Rule" (PDF).