mentira derivada
En geometría diferencial , la derivada de Lie / l iː / , llamada así por Sophus Lie por Władysław Ślebodziński , [1] [2] evalúa el cambio de un campo tensorial (incluyendo funciones escalares, campos vectoriales y formas uno ), a lo largo del flujo definida por otro campo vectorial. Este cambio es invariante de coordenadas y, por lo tanto, la derivada de Lie se define en cualquier variedad diferenciable .
Las funciones, los campos tensoriales y las formas se pueden diferenciar con respecto a un campo vectorial. Si T es un campo tensorial y X es un campo vectorial, entonces se denota la derivada de Lie de T con respecto a X. El operador diferencial es una derivación del álgebra de campos tensoriales de la variedad subyacente.
Aunque hay muchos conceptos de derivación en geometría diferencial, todos coinciden cuando la expresión que se deriva es una función o un campo escalar . Así, en este caso, se elimina la palabra "Mentira" y se habla simplemente de la derivada de una función.
La derivada de Lie de un campo vectorial Y con respecto a otro campo vectorial X se conoce como el " paréntesis de Lie " de X e Y , ya menudo se denota [ X , Y ] en lugar de . El espacio de campos vectoriales forma un álgebra de Lie con respecto a este paréntesis de Lie. La derivada de Lie constituye una representación de álgebra de Lie de dimensión infinita de esta álgebra de Lie, debido a la identidad
Considerando los campos vectoriales como generadores infinitesimales de flujos (es decir, grupos unidimensionales de difeomorfismos ) sobre M , la derivada de Lie es la diferencial de la representación del grupo de difeomorfismos sobre campos tensoriales, análoga a las representaciones del álgebra de Lie como representaciones infinitesimales asociadas a la representación del grupo en Teoría de los grupos de mentiras .
Existen generalizaciones para campos de espinores , haces de fibras con conexión y formas diferenciales con valores vectoriales .