La reconstrucción tomográfica es un tipo de problema inverso multidimensional donde el desafío es producir una estimación de un sistema específico a partir de un número finito de proyecciones . Johann Radon estableció la base matemática para la obtención de imágenes tomográficas . Un ejemplo notable de aplicaciones es la reconstrucción de tomografía computarizada (TC) donde se obtienen imágenes transversales de pacientes de forma no invasiva. Desarrollos recientes han visto la transformación de Radon y su inversa utilizada para tareas relacionadas con la inserción de objetos realistas requeridos para probar y evaluar el uso de la tomografía computarizada en la seguridad aeroportuaria .[1]
Este artículo se aplica en general a los métodos de reconstrucción para todo tipo de tomografía , pero algunos de los términos y descripciones físicas se refieren directamente a la reconstrucción de la tomografía computarizada de rayos X .
Introduciendo la fórmula
La proyección de un objeto, resultante del proceso de medición tomográfica en un ángulo dado. , se compone de un conjunto de integrales de línea (ver Fig. 1). Un conjunto de muchas de estas proyecciones bajo diferentes ángulos organizados en 2D se llama sinograma (ver Fig. 3). En la TC de rayos X, la integral de línea representa la atenuación total del haz de rayos X a medida que viaja en línea recta a través del objeto. Como se mencionó anteriormente, la imagen resultante es un modelo 2D (o 3D) del coeficiente de atenuación . Es decir, deseamos encontrar la imagen.. La forma más sencilla y sencilla de visualizar el método de escaneo es el sistema de proyección paralela , como se utilizó en los primeros escáneres. Para esta discusión, consideramos que los datos se recopilarán como una serie de rayos paralelos, en la posición, a través de una proyección en ángulo . Esto se repite para varios ángulos. La atenuación ocurre exponencialmente en los tejidos:
dónde es el coeficiente de atenuación en función de la posición. Por lo tanto, generalmente la atenuación total de un rayo en la posición , en la proyección en ángulo , viene dada por la integral de línea:
Usando el sistema de coordenadas de la Figura 1, el valor de en el que el punto se proyectará en ángulo es dado por:
Entonces, la ecuación anterior se puede reescribir como
dónde representa y es la función delta de Dirac . Esta función se conoce como la transformada de radón (o sinograma ) del objeto 2D.
La transformada de Fourier de la proyección se puede escribir como
dónde [2]
representa una porción de la transformada de Fourier 2D de en ángulo . Usando la transformada inversa de Fourier , la fórmula de la transformada inversa de radón se puede derivar fácilmente.
dónde es la derivada de la transformada de Hilbert de
En teoría, la transformación inversa de Radon produciría la imagen original. El teorema del corte de proyección nos dice que si tuviéramos un número infinito de proyecciones unidimensionales de un objeto tomadas en un número infinito de ángulos, podríamos reconstruir perfectamente el objeto original,. Sin embargo, solo habrá un número finito de proyecciones disponibles en la práctica.
Asumiendo tiene un diámetro efectivo y la resolución deseada es , la regla de oro número de proyecciones necesarias para la reconstrucción es [2]
Algoritmos de reconstrucción
Se han desarrollado algoritmos de reconstrucción prácticos para implementar el proceso de reconstrucción de un objeto tridimensional a partir de sus proyecciones. [3] [2] Estos algoritmos están diseñados principalmente en base a las matemáticas de la transformada de Radon , el conocimiento estadístico del proceso de adquisición de datos y la geometría del sistema de imágenes de datos.
Algoritmo de reconstrucción de dominio de Fourier
La reconstrucción se puede realizar mediante interpolación. Asumir-proyecciones de se generan en ángulos igualmente espaciados, cada uno de los cuales se muestrea a la misma velocidad. La transformada discreta de Fourier en cada proyección producirá un muestreo en el dominio de la frecuencia. La combinación de todas las proyecciones muestreadas en frecuencia generaría un ráster polar en el dominio de la frecuencia. El ráster polar será escaso, por lo que se utiliza la interpolación para rellenar los puntos DFT desconocidos y la reconstrucción se puede realizar mediante la transformada de Fourier discreta inversa . [4] El rendimiento de la reconstrucción puede mejorar mediante el diseño de métodos para cambiar la escasez del ráster polar, facilitando la eficacia de la interpolación.
Por ejemplo, se puede obtener un ráster cuadrado concéntrico en el dominio de la frecuencia cambiando el ángulo entre cada proyección de la siguiente manera:
dónde es la frecuencia más alta para ser evaluada.
El ráster cuadrado concéntrico mejora la eficiencia computacional al permitir que todas las posiciones de interpolación estén en una celosía DFT rectangular. Además, reduce el error de interpolación. [4] Sin embargo, el algoritmo de Transformada de Fourier tiene la desventaja de producir una salida inherentemente ruidosa.
Algoritmo de retroproyección
En la práctica de la reconstrucción de imágenes tomográficas, a menudo se utiliza una versión estabilizada y discretizada de la transformada inversa de radón, conocida como algoritmo de retroproyección filtrada . [2]
Con un sistema discreto muestreado, la transformada inversa de radón es
dónde es el espacio angular entre las proyecciones y es grano de radón con respuesta de frecuencia .
El nombre de retroproyección proviene del hecho de que la proyección 1D necesita ser filtrada por el núcleo de Radon 1D (retroproyectado) para obtener una señal 2D. El filtro utilizado no contiene ganancia de CC, por lo que puede ser deseable agregar polarización de CC . La reconstrucción mediante retroproyección permite una mejor resolución que el método de interpolación descrito anteriormente. Sin embargo, induce un mayor ruido porque el filtro tiende a amplificar el contenido de alta frecuencia.
Algoritmo de reconstrucción iterativo
El algoritmo iterativo es computacionalmente intensivo pero permite incluir información a priori sobre el sistema. [2]
Dejar ser el número de proyecciones, ser el operador de distorsión para proyección tomada en ángulo . son un conjunto de parámetros para optimizar la conversión de iteraciones.
Una familia alternativa de algoritmos de reconstrucción tomográfica recursiva son las técnicas de reconstrucción algebraica y la varianza mínima asintótica dispersa iterativa .
Reconstrucción Fan-Beam
El uso de un haz de abanico no colimado es común ya que es difícil obtener un haz de radiación colimado . Los haces de abanico generarán series de integrales de línea, no paralelas entre sí, como proyecciones. El sistema de haz de abanico requerirá un rango de ángulos de 360 grados que imponen restricciones mecánicas, sin embargo, permite un tiempo de adquisición de señal más rápido, lo que puede ser ventajoso en ciertos entornos, como en el campo de la medicina. La retroproyección sigue un procedimiento similar de 2 pasos que produce la reconstrucción calculando las retroproyecciones de suma ponderada obtenidas a partir de proyecciones filtradas.
Reconstrucción de aprendizaje profundo
Los métodos de aprendizaje profundo se aplican ampliamente a la reconstrucción de imágenes en la actualidad y han logrado resultados impresionantes en varias tareas de reconstrucción de imágenes, incluida la eliminación de ruido en dosis bajas, la reconstrucción de vista dispersa, la tomografía de ángulo limitado y la reducción de artefactos metálicos. Se puede encontrar una excelente descripción en el número especial [5] de IEEE Transaction on Medical Imaging. Un grupo de algoritmos de reconstrucción de aprendizaje profundo aplica redes neuronales de posprocesamiento para lograr la reconstrucción de imagen a imagen, donde las imágenes de entrada se reconstruyen mediante métodos de reconstrucción convencionales. La reducción de artefactos utilizando U-Net en tomografía de ángulo limitado es un ejemplo de aplicación. [6] Sin embargo, pueden ocurrir estructuras incorrectas en una imagen reconstruida por un método completamente basado en datos, [7] como se muestra en la figura. Por lo tanto, la integración de operadores conocidos en el diseño de la arquitectura de las redes neuronales parece beneficiosa, como se describe en el concepto de aprendizaje de precisión. [8] Por ejemplo, la reconstrucción directa de imágenes a partir de datos de proyección se puede aprender del marco de retroproyección filtrada. [9] Otro ejemplo es construir redes neuronales mediante el desarrollo de algoritmos de reconstrucción iterativos. [10] A excepción del aprendizaje de precisión, el uso de métodos de reconstrucción convencionales con reconstrucción de aprendizaje profundo anterior [11] también es un enfoque alternativo para mejorar la calidad de imagen de la reconstrucción de aprendizaje profundo.
Software de reconstrucción tomográfica
Para la reconstrucción tomográfica flexible, se encuentran disponibles cajas de herramientas de código abierto, como PYRO-NN, [12] TomoPy, [13] CONRAD, [14] ODL, la caja de herramientas ASTRA, [15] [16] y TIGRE. [17] TomoPy es una caja de herramientas Python de código abierto para realizar tareas de procesamiento de datos tomográficos y reconstrucción de imágenes en Advanced Photon Source en Argonne National Laboratory . La caja de herramientas TomoPy está específicamente diseñada para ser fácil de usar e implementar en una línea de luz de una instalación de sincrotrón. Admite la lectura de muchos formatos de datos de sincrotrón comunes desde el disco a través de Scientific Data Exchange, [18] e incluye varios otros algoritmos de procesamiento comúnmente utilizados para datos de sincrotrón. TomoPy también incluye varios algoritmos de reconstrucción, que se pueden ejecutar en estaciones de trabajo de múltiples núcleos e instalaciones informáticas a gran escala. [19] ASTRA Toolbox es una caja de herramientas de MATLAB y Python de primitivas de GPU de alto rendimiento para tomografía 2D y 3D, de 2009 a 2014 desarrollada por iMinds-Vision Lab, Universidad de Amberes y desde 2014 desarrollada conjuntamente por iMinds-VisionLab (ahora imec -VisionLab), UAntwerpen y CWI, Amsterdam. La caja de herramientas admite haz paralelo, de ventilador y de cono, con un posicionamiento de fuente / detector altamente flexible. Hay una gran cantidad de algoritmos de reconstrucción disponibles a través de TomoPy y el kit de herramientas ASTRA, incluidos FBP, Gridrec, ART , SIRT, SART, BART, CGLS, PML, MLEM y OSEM. En 2016, la caja de herramientas ASTRA se integró en el marco de TomoPy. [20] Al integrar la caja de herramientas ASTRA en el marco de TomoPy, los métodos de reconstrucción optimizados basados en GPU se vuelven fácilmente disponibles para los usuarios de la línea de luz de sincrotrón, y los usuarios de la caja de herramientas ASTRA pueden leer más fácilmente los datos y utilizar otras funciones de TomoPy para el filtrado de datos y la corrección de artefactos .
Galería
En la galería se muestra el proceso completo para una tomografía de objeto simple y la siguiente reconstrucción tomográfica basada en ART.
Fig. 2: Objeto fantasma , dos cuadrados de esquina de gatito.
Fig. 3: Sinograma del objeto fantasma (Fig. 2) resultante de la tomografía. Se tomaron 50 cortes de proyección en un ángulo de 180 grados, muestreados equidistantemente (solo por coincidencia, el eje x marca el desplazamiento a -50/50 unidades).
Figura 4: Reconstrucción tomográfica basada en ART del sinograma de la figura 3, presentado como animación sobre el proceso de reconstrucción iterativo. El objeto original podría reconstruirse de forma aproximada, ya que la imagen resultante tiene algunos artefactos visuales .
Ver también
- Operación de tomografía computarizada # Reconstrucción tomográfica
- Reconstrucción de haz cónico
- Tomografía computarizada industrial
- Sistemas de tomografía industrial
Referencias
- ^ Megherbi, N., Breckon, TP, Flitton, GT, Mouton, A. (octubre de 2013). "Generación de artefactos metálicos basados en transformadas de radón en proyección de imágenes de amenazas 3D" (PDF) . Proc. SPIE Óptica y Fotónica para Contraterrorismo, Lucha contra el Crimen y Defensa . 8901 . SPIE. págs. 1-7. doi : 10.1117 / 12.2028506 . S2CID 14001672 . Consultado el 5 de noviembre de 2013 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b c d e Dudgeon y Mersereau (1984). Procesamiento de señales digitales multidimensionales . Prentice Hall.
- ^ Herman, GT, Fundamentos de la tomografía computarizada: reconstrucción de imágenes a partir de la proyección, segunda edición, Springer, 2009
- ^ a b R. Mersereau, A. Oppenheim (1974). "Reconstrucción digital de señales multidimensionales a partir de sus proyecciones". Actas del IEEE . 62 (10): 1319-1338. doi : 10.1109 / proc.1974.9625 . hdl : 1721,1 / 13788 .
- ^ Wang, Ge y Ye, Jong Chu y Mueller, Klaus y Fessler, Jeffrey A (2018). "La reconstrucción de imágenes es una nueva frontera del aprendizaje automático". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 37 (6): 1289–1296. doi : 10.1109 / TMI.2018.2833635 . PMID 29870359 . S2CID 46931303 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Gu, Jawook y Ye, Jong Chul (2017). Aprendizaje residual del dominio de ondículas de múltiples escalas para la reconstrucción de TC de ángulo limitado . Totalmente 3D. págs. 443–447.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Huang Y., Würfl T., Breininger K., Liu L., Lauritsch G., Maier A. (2018). Algunas investigaciones sobre la solidez del aprendizaje profundo en tomografía de ángulo limitado . MICCAI. doi : 10.1007 / 978-3-030-00928-1_17 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Maier, Andreas K y Syben, Christopher y Stimpel, Bernhard y Wuerfl, Tobias y Hoffmann, Mathis y Schebesch, Frank y Fu, Weilin y Mill, Leonid y Kling, Lasse y Christiansen, Silke (2019). "Aprender con operadores conocidos reduce los límites máximos de error" . Inteligencia de la máquina de la naturaleza . 1 (8): 373–380. doi : 10.1038 / s42256-019-0077-5 . PMC 6690833 . PMID 31406960 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Tobias Wuerfl y Mathis Hoffmann y Vincent Christlein y Katharina Breininger y Yixing Huang y Mathias Unberath y Andreas Maier (2018). "Tomografía computarizada de aprendizaje profundo: aprendizaje de pesos de dominio de proyección de dominio de imagen en problemas de ángulo limitado". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 37 (6): 1454–1463. doi : 10.1109 / TMI.2018.2833499 . PMID 29870373 . S2CID 46935914 .
- ^ J. Adler y O. Öktem (2018). "Reconstrucción primordial-dual aprendida". Transacciones IEEE sobre imágenes médicas . 37 (6): 1322-1332. arXiv : 1707.06474 . doi : 10.1109 / TMI.2018.2799231 . PMID 29870362 . S2CID 26897002 .
- ^ Huang Y., Preuhs A., Lauritsch G., Manhart M., Huang X., Maier A. (2019). Reducción de artefactos consistentes en datos para tomografía de ángulo limitado con aprendizaje profundo anterior . Aprendizaje automático para la reconstrucción de imágenes médicas. arXiv : 1908.06792 . doi : 10.1007 / 978-3-030-33843-5_10 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Syben, Christopher; Michen, Markus; Stimpel, Bernhard; Seitz, Stephan; Ploner, Stefan; Maier, Andreas (2019). "PYRO-NN: Operadores de reconstrucción de Python en redes neuronales" . Física Médica . 46 (11): 5110–5115. arXiv : 1904.13342 . Código Bib : 2019arXiv190413342S . doi : 10.1002 / mp.13753 . PMC 6899669 . PMID 31389023 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Gursoy D, De Carlo F, Xiao X y Jacobsen C (2014). "TomoPy: un marco para el análisis de datos tomográficos de sincrotrón" . Revista de radiación de sincrotrón . 22 (5): 1188-1193. Código Bibliográfico : 2014SPIE.9212E..0NG . doi : 10.1107 / S1600577514013939 . PMC 4181643 . PMID 25178011 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ A. Maier, HG Hofmann, M. Berger, P. Fischer, C. Schwemmer, H. Wu, K. Mueller, J. Hornegger, J. Choi, C. Riess, A. Keil, A. Farhig (2013). "CONRAD - un marco de software para imágenes de haz cónico en radiología" . Física Médica . 40 (11): 111914. Código Bibliográfico : 2013MedPh..40k1914M . doi : 10.1118 / 1.4824926 . PMC 3820625 . PMID 24320447 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Van Aarle, W., Palenstijn, WJ, De Beenhouwer, J., Altantzis T., Bals S. , Batenburg KJ y J. Sijbers (octubre de 2015). "The ASTRA Toolbox: una plataforma para el desarrollo de algoritmos avanzados en tomografía electrónica" . Ultramicroscopía . 157 : 35–47. doi : 10.1016 / j.ultramic.2015.05.002 . PMID 26057688 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ W. Van Aarle, W J. Palenstijn, J. Cant, E. Janssens, F. Bleichrodt, A. Dabravolski, J. De Beenhouwer, KJ Batenburg y J. Sijbers (2016). "Tomografía de rayos X rápida y flexible con la caja de herramientas ASTRA" . Optics Express . 24 (22): 35–47. Código Bib : 2016OExpr..2425129V . doi : 10.1364 / OE.24.025129 . PMID 27828452 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Publicado por la Universidad de Bath y el CERN.
Biguri, Ander; Dosanjh, Manjit; Hancock, Steven; Soleimani, Manuchehr (8 de septiembre de 2016). "TIGRE: una caja de herramientas MATLAB-GPU para la reconstrucción de imágenes CBCT" . Física e Ingeniería Biomédica Express . 2 (5): 055010. doi : 10.1088 / 2057-1976 / 2/5/055010 . ISSN 2057-1976 . - ^ De Carlo F, Gursoy D, Marone F, Rivers M, Parkinson YD, Khan F, Schwarz N, Vine DJ, Vogt S, Gleber SC, Narayanan S, Newville M, Lanzirotti T, Sun Y, Hong YP, Jacobsen C (2014 ). "Intercambio de datos científicos: un esquema para el almacenamiento basado en HDF5 de datos sin procesar y analizados" . Revista de radiación de sincrotrón . 22 (6): 35–47. doi : 10.1107 / S160057751401604X . PMID 25343788 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Bicer T, Gursoy D, Kettimuthu R, De Carlo F y Foster I (2016). "Optimización de los flujos de trabajo de reconstrucción tomográfica sobre recursos distribuidos geográficamente" . Revista de radiación de sincrotrón . 23 (4): 997–1005. doi : 10.1107 / S1600577516007980 . PMC 5315096 . PMID 27359149 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Pelt DM, Gursoy D, Batenburg KJ, De Carlo F, Palenstijna WJ y Sijbers J (2016). "Integración de TomoPy y la caja de herramientas ASTRA para procesamiento avanzado y reconstrucción de datos tomográficos de sincrotrón" . Revista de radiación de sincrotrón . 23 (3): 842–849. doi : 10.1107 / S1600577516005658 . PMC 5315009 . PMID 27140167 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
Otras lecturas
- Avinash Kak y Malcolm Slaney (1988), Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3 .
- Bruyant, PP "Algoritmos de reconstrucción analíticos e iterativos en SPECT" Journal of Nuclear Medicine 43 (10): 1343-1358, 2002
enlaces externos
- Slaney, AC Kak y Malcolm. "Principios de la imagen tomográfica computarizada" . Slaney.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
- Insight ToolKit; software de soporte tomográfico de código abierto
- "TomoPy - Documentación de TomoPy 1.1.3" . Tomopy.readthedocs.org . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .
- Caja de herramientas ASTRA (Reconstrucción tomográfica de todas las escalas de Amberes); software muy flexible, rápido y de código abierto para la reconstrucción tomográfica computarizada
- NiftyRec; software completo de reconstrucción tomográfica de código abierto; Scriptable en Matlab y Python
- Herramienta de visualización y reconstrucción tomográfica de código abierto
- "ITS plc - Tomografía de procesos eléctricos para visualización industrial" . Itoms.com . Consultado el 7 de septiembre de 2018 .