En matemáticas , un punto límite (o punto de agrupación o punto de acumulación ) de un conjunto en un espacio topológico es un punto que se puede "aproximar" por puntos de en el sentido de que cada barrio decon respecto a la topología en también contiene un punto de otro que sí mismo. Un punto límite de un conjunto no tiene por qué ser en sí mismo un elemento de
Los puntos límite no deben confundirse con los puntos adherentes para los cuales cada vecindario de contiene un punto de . A diferencia de los puntos límite, este punto de tal vez sí mismo. Un punto límite se puede caracterizar como un punto adherente que no es un punto aislado .
Los puntos límite tampoco deben confundirse con los puntos límite . Por ejemplo, es un punto límite (pero no un punto límite) del conjunto en con topología estándar . Sin emabargo, es un punto límite (aunque no un punto límite) del intervalo en con topología estándar (para ver un ejemplo menos trivial de un punto límite, consulte el primer título). [1] [2] [3]
Este concepto generaliza provechosamente la noción de límite y es la base de conceptos como conjunto cerrado y cierre topológico . De hecho, un conjunto se cierra si y solo si contiene todos sus puntos límite, y la operación de cierre topológico puede considerarse como una operación que enriquece un conjunto al unirlo con sus puntos límite.
También existe un concepto estrechamente relacionado para las secuencias . Un punto de agrupación (o punto de acumulación ) de una secuencia. en un espacio topológico es un punto tal que, para cada barrio de hay infinitos números naturales tal que Este concepto se generaliza a redes y filtros .
Definición
Dejar ser un subconjunto de un espacio topológico Un punto en es un punto límite (o punto de agrupación o punto de acumulación ) desi cada barrio de contiene al menos un punto de diferente de sí mismo.
No importa si restringimos la condición a vecindarios abiertos solamente. A menudo es conveniente usar la forma de "vecindad abierta" de la definición para mostrar que un punto es un punto límite y usar la forma de "vecindad general" de la definición para derivar hechos de un punto límite conocido.
Si es un espacio (que son todos los espacios métricos ), entonces es un punto límite de si y solo si cada barrio de contiene infinitos puntos de De echo, Los espacios se caracterizan por esta propiedad.
Si es un espacio de Fréchet-Urysohn (que son todos los espacios métricos y los primeros espacios contables ), luego es un punto límite de si y solo si hay una secuencia de puntos encuyo límite es De hecho, los espacios de Fréchet-Urysohn se caracterizan por esta propiedad.
El conjunto de puntos límite de se llama el conjunto derivado de
Tipos de punto límite
Si cada barrio de contiene infinitos puntos de luego es un tipo específico de punto límite llamado ω-punto de acumulación de
Si cada barrio de contiene incontables puntos de luego es un tipo específico de punto límite llamado punto de condensación de
Si cada barrio de satisface luego es un tipo específico de punto límite llamado punto de acumulación completo de
Para secuencias y redes
En un espacio topológico un punto se dice que es un punto de agrupación (o punto de acumulación ) de una secuencia si, para cada barrio de hay infinitamente muchos tal que Equivale a decir que para cada barrio de y cada hay algunos tal que Si es un espacio métrico o un primer espacio contable (o, más generalmente, un espacio de Fréchet-Urysohn ), luego es el punto de agrupación de si y solo si es un límite de alguna subsecuencia de El conjunto de todos los puntos de agrupación de una secuencia a veces se denomina conjunto límite .
Tenga en cuenta que ya existe la noción de límite de una secuencia para significar un punto a la que converge la secuencia (es decir, cada vecindad de contiene todos, excepto un número finito de elementos de la secuencia). Es por eso que no usamos el término punto límite de una secuencia como sinónimo de punto de acumulación de la secuencia.
El concepto de red generaliza la idea de secuencia . Una red es una función dónde es un conjunto dirigido yes un espacio topológico. Un puntose dice que es un punto de agrupación (o punto de acumulación ) de la redsi, para cada barrio de y cada hay algunos tal que de manera equivalente, si tiene una subred que converge aLos puntos de agrupación en redes abarcan la idea de puntos de condensación y puntos de acumulación ω. La agrupación en clústeres y los puntos límite también se definen para los filtros .
Relación entre el punto de acumulación de una secuencia y el punto de acumulación de un conjunto
Cada secuencia en es por definición solo un mapa para que su imagen se puede definir de la forma habitual.
- Si existe un elemento que ocurre infinitas veces en la secuencia, es un punto de acumulación de la secuencia. Pero no es necesario que sea un punto de acumulación del conjunto correspondiente Por ejemplo, si la secuencia es la secuencia constante con valor tenemos y es un punto aislado de y no un punto de acumulación de
- Si ningún elemento aparece infinitas veces en la secuencia, por ejemplo, si todos los elementos son distintos, cualquier punto de acumulación de la secuencia es un -punto de acumulación del conjunto asociado
Por el contrario, dado un conjunto infinito contable en podemos enumerar todos los elementos de de muchas formas, incluso con repeticiones, y así asociarle muchas secuencias que satisfará
- Alguna -punto de acumulación de es un punto de acumulación de cualquiera de las secuencias correspondientes (porque cualquier vecindad del punto contendrá un número infinito de elementos de y por tanto también infinitos términos en cualquier secuencia asociada).
- Un punto eso no es un-punto de acumulación de no puede ser un punto de acumulación de ninguna de las secuencias asociadas sin repeticiones infinitas (porque tiene un vecindario que contiene solo un número finito (posiblemente incluso ninguno) de puntos de y esa vecindad solo puede contener un número finito de términos de tales secuencias).
Propiedades
Cada límite de una secuencia no constante es un punto de acumulación de la secuencia. Y por definición, cada punto límite es un punto adherente .
El cierre de un conjunto es una unión desarticulada de sus puntos límite y puntos aislados :
Un punto es un punto límite de si y solo si es en el cierre de
Prueba |
---|
Usamos el hecho de que un punto está en el cierre de un conjunto si y solo si cada vecindad del punto se encuentra con el conjunto. Ahora, es un punto límite de si y solo si cada barrio de contiene un punto de otro que si y solo si cada barrio de contiene un punto de si y solo si está en el cierre de |
Si usamos para denotar el conjunto de puntos límite de entonces tenemos la siguiente caracterización del cierre de : El cierre de es igual a la unión de y Este hecho a veces se toma como la definición de cierre .
Prueba |
---|
("Subconjunto izquierdo") Supongamos está en el cierre de Si es en hemos terminado. Si no está dentro entonces cada barrio de contiene un punto de y este punto no puede ser En otras palabras, es un punto límite de y es en ("Subconjunto derecho") Si es en entonces cada barrio de claramente cumple entonces está en el cierre de Si es en entonces cada barrio de contiene un punto de (otro que ), entonces está de nuevo en el cierre de Esto completa la prueba. |
Un corolario de este resultado nos da una caracterización de conjuntos cerrados: Un conjunto se cierra si y solo si contiene todos sus puntos límite.
Prueba |
---|
Prueba 1: está cerrado si y solo si es igual a su cierre si y solo si si y solo si está contenido en Prueba 2: Deja ser un conjunto cerrado y un punto límite de Si no está dentro luego el complemento a comprende un vecindario abierto de Desde es un punto límite de cualquier barrio abierto de debe tener una intersección no trivial con Sin embargo, un conjunto no puede tener una intersección no trivial con su complemento. Por el contrario, supongacontiene todos sus puntos límite. Demostraremos que el complemento dees un conjunto abierto. Dejar ser un punto en el complemento de Por suposición, no es un punto límite, y por lo tanto existe un vecindario abierto de que no se cruza y entonces yace enteramente en el complemento de Dado que este argumento es válido para en el complemento de el complemento de puede expresarse como una unión de vecindarios abiertos de los puntos en el complemento de De ahí el complemento de Esta abierto. |
Ningún punto aislado es un punto límite de ningún conjunto.
Prueba |
---|
Si es un punto aislado, entonces es un barrio de que no contiene más puntos que |
Un espacio es discreto si y solo si ningún subconjunto de tiene un punto límite.
Prueba |
---|
Si es discreto, entonces cada punto está aislado y no puede ser un punto límite de ningún conjunto. Por el contrario, si no es discreto, entonces hay un singleton que no está abierto. Por lo tanto, cada vecindario abierto de contiene un punto y entonces es un punto límite de |
Si un espacio tiene la topología trivial y es un subconjunto de con más de un elemento, entonces todos los elementos de son puntos límite de Si es un singleton, entonces cada punto de es un punto límite de
Prueba |
---|
Mientras no está vacío, su cierre será Solo está vacío cuando está vacío o es el elemento único de |
Ver también
- Punto adherente : un punto que pertenece al cierre de algún subconjunto de un espacio topológico.
- Punto de condensación
- Filtro convergente
- Conjunto derivado (matemáticas)
- Filtros en topología : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
- Punto aislado
- Límite de una función : punto al que convergen las funciones en la topología
- Límite de una secuencia : valor al que "tienden" los términos de una secuencia.
- Límite posterior
Citas
- ^ "Diferencia entre el punto límite y el punto límite" . 2021-01-13.
- ^ "Qué es un punto límite" . 2021-01-13.
- ^ "Ejemplos de puntos de acumulación" . 2021-01-13.
Referencias
- "Punto límite de un conjunto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]