Dualidad de Poincaré

En matemáticas , el teorema de dualidad de Poincaré , llamado así por Henri Poincaré , es un resultado básico sobre la estructura de los grupos de homología y cohomología de variedades . Establece que si M es una variedad cerrada orientada n -dimensionalmente ( compacta y sin límite), entonces el k -ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al ( )-ésimo grupo de homología de M , para todos los enteros k ${\ estilo de visualización nk}$

La dualidad de Poincaré es válida para cualquier anillo de coeficientes , siempre que se haya tomado una orientación con respecto a ese anillo de coeficientes; en particular, dado que cada variedad tiene una única orientación mod 2, la dualidad de Poincaré tiene mod 2 sin ningún supuesto de orientación.

Una forma de dualidad de Poincaré fue enunciada por primera vez, sin pruebas, por Henri Poincaré en 1893. Fue enunciada en términos de números de Betti : Los números k -ésimo y ( )-ésimo de Betti de un n orientable cerrado (es decir, compacto y sin límite) - múltiples son iguales. El concepto de cohomología estaba en ese momento alrededor de 40 años desde que se aclaró. En su artículo de 1895 Analysis Situs , Poincaré intentó demostrar el teorema utilizando la teoría de la intersección topológica , que él mismo había inventado. Las críticas a su trabajo por parte de Poul Heegaard lo llevaron a darse cuenta de que su prueba tenía graves fallas. En los dos primeros complementos al Análisis Situs${\ estilo de visualización nk}$, Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales.

La dualidad de Poincaré no tomó su forma moderna hasta el advenimiento de la cohomología en la década de 1930, cuando Eduard Čech y Hassler Whitney inventaron los productos de copa y tapón y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.

La declaración moderna del teorema de dualidad de Poincaré es en términos de homología y cohomología: si es una n -variedad cerrada orientada y es un número natural más pequeño que , entonces hay un isomorfismo definido canónicamente . Para definir tal isomorfismo, se elige una clase fundamental fija de , que existirá si está orientada. Entonces el isomorfismo se define mapeando un elemento a su producto cap . ^[1]${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización k}$${\ estilo de visualización n}$${\displaystyle H^{k}(M,\mathbb {Z} )\to H_{nk}(M,\mathbb {Z} )}$ ${\ estilo de visualización [M]}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización \ alfa \ en H ^ {k} (M)}$${\ estilo de visualización [M] \ fruncir el ceño \ alfa}$

Los grupos de homología y cohomología se definen como cero para grados negativos, por lo que la dualidad de Poincaré en particular implica que los grupos de homología y cohomología de n -variedades cerradas orientables son cero para grados mayores que n .

${\displaystyle \cup _{S\in T}\Delta \cap DS}$ – una imagen de las partes de las celdas duales en un símplex de dimensión superior.