En geometría algebraica, dada una curva proyectiva suave X sobre un campo finito y un esquema de grupo afín suave G sobre él, la pila de módulos de paquetes principales sobre X , denotada por , es una pila algebraica dada por: [1] para cualquier-álgebra R ,
- la categoría de los principales paquetes G sobre la curva relativa .
En particular, la categoría de -puntos de , es decir, , Es la categoría de G -bundles sobre X .
Similar, también se puede definir cuando la curva X está sobre el campo de números complejos. Aproximadamente, en el caso complejo, se puede definircomo el cociente de la pila del espacio de conexiones holomorfas en X por el grupo de calibre . Reemplazar la pila de cocientes (que no es un espacio topológico) por un cociente de homotopía (que es un espacio topológico) da el tipo de homotopía de.
En el caso de campo finito, no es común definir el tipo de homotopía de . Pero todavía se puede definir una cohomología y homología ( suave ) de.
Propiedades básicas
Se sabe que es una pila lisa de dimensión dónde es el género de X . No es de tipo finito, sino localmente de tipo finito; por lo tanto, generalmente se usa una estratificación por subestaciones abiertas de tipo finito (cf. la estratificación de Harder-Narasimhan ). Si G es un grupo reductor dividido, entonces el conjunto de componentes conectados está en una biyección natural con el grupo fundamental . [2]
La fórmula de Atiyah-Bott
Fórmula de trazas de Behrend
Ésta es una versión (conjetural) de la fórmula de rastreo de Lefschetz paracuando X está sobre un campo finito, introducido por Behrend en 1993. [3] Dice: [4] si G es un esquema de grupo afín suave con fibra genérica conectada semisimplemente , entonces
donde (consulte también la fórmula de seguimiento de Behrend para obtener más detalles)
- l es un número primo que no es py el anillode enteros l-ádicos se ve como un subanillo de.
- es el Frobenius geométrico .
- , la suma que abarca todas las clases de isomorfismos de los haces G en X y convergentes.
- para un espacio vectorial graduado , siempre que la serie de la derecha converja absolutamente.
A priori, ni el lado izquierdo ni el derecho en la fórmula convergen. Por lo tanto, la fórmula establece que los dos lados convergen en números finitos y que esos números coinciden.
Notas
- ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11 de abril de 2013 . Consultado el 30 de enero de 2014 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
- ^ Heinloth 2010 , Proposición 2.1.2
- ^ http://www.math.ubc.ca/~behrend/thesis.pdf
- ^ Lurie 2014 , Conjetura 1.3.4.
Referencias
- J. Heinloth, Conferencias sobre la pila de módulos de paquetes vectoriales en una curva , versión preliminar de 2009
- J. Heinloth, AHW Schmitt, The Cohomology Ring of Moduli Stacks of Principal Bundles over Curves, preimpresión de 2010, disponible en http://www.uni-essen.de/~hm0002/ .
- Gaitsgory, D; Lurie, J .; Conjetura de Weil para campos de función. 2014, [1]
Otras lecturas
Ver también
- Conjeturas geométricas de Langlands
- Ran espacio
- Pila de módulos de paquetes de vectores