En matemáticas , la función trigamma , denotada ψ 1 ( z ) , es la segunda de las funciones poligamma , y está definida por
Representación en color de la función trigamma, ψ 1 ( z ) , en una región rectangular del plano complejo. Se genera utilizando el método de coloración de dominios .
.
De esta definición se deduce que
donde ψ ( z ) es la función digamma . También se puede definir como la suma de la serie
No hay raíces en el eje real de ψ 1 , pero existen infinitos pares de raíces z n , z n para Re z <0 . Cada par de raíces se aproxima a Re z n = - n + 1/2rápidamente y su parte imaginaria aumenta lentamente logarítmica con n . Por ejemplo, z 1 = −0,4121345 ... + 0,5978119 ... i y z 2 = −1,4455692 ... + 0,6992608 ... i son las dos primeras raíces con Im ( z )> 0 .
Relación con la función de Clausen
La función digamma en argumentos racionales se puede expresar en términos de funciones trigonométricas y logaritmos mediante el teorema de digamma . Un resultado similar es válido para la función trigamma, pero las funciones circulares son reemplazadas por la función de Clausen . A saber, [1]
^ Lewin, L. (editor) (1991). Propiedades estructurales de los polilogaritmos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821816349.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
^Mező, István (2013). "Algunas sumas infinitas que surgen del teorema del producto de Weierstrass". Matemática Aplicada y Computación . 219 (18): 9838–9846. doi : 10.1016 / j.amc.2013.03.122 .