En matemáticas , la función poligamma de orden m es una función meromórfica en los números complejos ℂ definidos como la ( m + 1) ésima derivada del logaritmo de la función gamma :
Gráficas de las funciones de poligamma
ψ ,
ψ (1) ,
ψ (2) y
ψ (3) de argumentos reales
Por lo tanto
se mantiene donde ψ ( z ) es la función digamma y Γ ( z ) es la función gamma . Son holomórficos en ℂ \ - ℕ 0 . En todos los enteros no positivos, estas funciones de poligamma tienen un polo de orden m + 1 . La función ψ (1) ( z ) a veces se denomina función trigamma .
El logaritmo de la función gamma y las primeras funciones poligamma en el plano complejo | | |
ln Γ ( z ) | ψ (0) ( z ) | ψ (1) ( z ) |
| | |
ψ (2) ( z ) | ψ (3) ( z ) | ψ (4) ( z ) |
Representación integralCuando m > 0 y Re z > 0 , la función poligamma es igual a
Esto expresa la función poligamma como la transformada de Laplace de. Se deduce del teorema de Bernstein sobre las funciones monótonas que, para m > 0 y x real y no negativo, es una función completamente monótona.
Establecer m = 0 en la fórmula anterior no proporciona una representación integral de la función digamma. La función digamma tiene una representación integral, debido a Gauss, que es similar al caso m = 0 anterior pero que tiene un término adicional.
Relación de recurrenciaSatisface la relación de recurrencia
lo cual, considerado para el argumento de entero positivo, conduce a una presentación de la suma de los recíprocos de las potencias de los números naturales:
y
para todos los n ∈ ℕ . Al igual que la función log-gamma, las funciones de poligamma se pueden generalizar desde el dominio ℕ únicamente a números reales positivos solo debido a su relación de recurrencia y un valor de función dado, digamos ψ ( m ) (1) , excepto en el caso m = 0 donde todavía se necesita la condición adicional de estricta monotonicidad en ℝ + . Ésta es una consecuencia trivial del teorema de Bohr-Mollerup para la función gamma donde además se exige convexidad estrictamente logarítmica en ℝ + . El caso m = 0 debe tratarse de manera diferente porque ψ (0) no es normalizable en el infinito (la suma de los recíprocos no converge).
Relación de reflexión
donde P m es alternativamente un polinomio par o impar de grado | m - 1 | con coeficientes enteros y coeficiente principal (−1) m ⌈2 m - 1 ⌉ . Obedecen la ecuación de recursividad
Teorema de multiplicaciónEl teorema de la multiplicación da
y
para la función digamma .
Representación de seriesLa función poligamma tiene la representación en serie
que es válido para valores enteros de m > 0 y cualquier z complejo no igual a un entero negativo. Esta representación se puede escribir de forma más compacta en términos de la función zeta de Hurwitz como
Alternativamente, se puede entender que Hurwitz zeta generaliza la poligamma en un orden arbitrario no entero.
Se puede permitir una serie más para las funciones de poligamma. Según lo dado por Schlömilch ,
Este es el resultado del teorema de factorización de Weierstrass . Por lo tanto, la función gamma ahora se puede definir como:
Ahora, el logaritmo natural de la función gamma es fácilmente representable:
Finalmente, llegamos a una representación de suma para la función poligamma:
Donde δ n 0 es el delta de Kronecker .
También el trascendente Lerch
se puede denotar en términos de función de poligamma
Serie de taylorLa serie de Taylor en z = 1 es
y
que converge para | z | <1 . Aquí, ζ es la función zeta de Riemann . Esta serie se deriva fácilmente de la serie de Taylor correspondiente para la función zeta de Hurwitz. Esta serie se puede utilizar para derivar varias series zeta racionales .
Expansión asintóticaEstas series no convergentes se pueden usar para obtener rápidamente un valor de aproximación con una cierta precisión numérica al menos para argumentos grandes:
y
donde hemos elegido B 1 =1/2, es decir, los números de Bernoulli del segundo tipo.
DesigualdadesVer tambiénReferencias