Distribución de viajes

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Todos los viajes tienen un origen y un destino y estos se consideran en la etapa de distribución de viajes.

La distribución del viaje (o la elección del destino o el análisis de intercambio zonal ) es el segundo componente (después de la generación del viaje , pero antes de la elección del modo y la asignación de la ruta ) en el modelo tradicional de pronóstico de transporte de cuatro pasos . Este paso hace coincidir los orígenes y destinos de los viajeros para desarrollar una "tabla de viajes", una matriz que muestra el número de viajes que van desde cada origen a cada destino. ^[1] Históricamente, este componente ha sido el componente menos desarrollado del modelo de planificación del transporte .

Tabla: Tabla de viaje ilustrativa

Origen Destino	1	2	3	Z
1	T 11	T 12	T 13	T 1Z
2	T 21
3	T 31
Z	T Z1			T ZZ

Donde: T _ij = viajes desde el origen i al destino j . Tenga en cuenta que el valor práctico de los viajes en diagonal, por ejemplo, de la zona 1 a la zona 1, es cero, ya que no se produce ningún viaje intrazonal. 

La distribución de viajes de trabajo es la forma en que los modelos de demanda de viajes entienden cómo las personas aceptan trabajos. Existen modelos de distribución de viajes para otras actividades (no laborales) como la elección del lugar para la compra de comestibles, que siguen la misma estructura.

Historia

A lo largo de los años, los modeladores han utilizado varias fórmulas diferentes de distribución de viajes. El primero fue el modelo Fratar o Growth (que no diferenciaba los viajes por finalidad). Esta estructura extrapoló una tabla de viajes del año base al futuro basada en el crecimiento, pero no tuvo en cuenta los cambios en la accesibilidad espacial debido al aumento de la oferta o cambios en los patrones de viaje y la congestión. (El modelo de factor de crecimiento simple, el modelo Furness y el modelo Detroit son modelos desarrollados en el mismo período de tiempo)

Los siguientes modelos desarrollados fueron el modelo de gravedad y el modelo de oportunidades intermedias. La formulación más utilizada sigue siendo el modelo de gravedad.

Mientras estudiaba el tráfico en Baltimore, Maryland , Alan Voorhees desarrolló una fórmula matemática para predecir los patrones de tráfico según el uso de la tierra. Esta fórmula ha sido fundamental en el diseño de numerosos proyectos de transporte y obras públicas en todo el mundo. Escribió "A General Theory of Traffic Movement" (Voorhees, 1956) que aplicó el modelo de gravedad a la distribución de viajes, que traduce los viajes generados en un área a una matriz que identifica el número de viajes de cada origen a cada destino, que puede luego se cargará en la red.

La evaluación de varias formas de modelos en la década de 1960 concluyó que "el modelo de gravedad y el modelo de oportunidad interviniente demostraron tener la misma confiabilidad y utilidad al simular la distribución de viajes de 1948 y 1955 para Washington, DC" (Heanue y Pyers 1966). Se demostró que el modelo Fratar tiene debilidad en áreas que experimentan cambios de uso de la tierra. Como las comparaciones entre los modelos mostraron que cualquiera de los dos podía calibrarse igualmente bien para coincidir con las condiciones observadas, debido a la facilidad de cálculo, los modelos de gravedad se extendieron más ampliamente que los modelos de oportunidades intermedias. Whitaker y West (1968) discutieron algunos problemas teóricos con el modelo de oportunidades intermedias en relación con su incapacidad para dar cuenta de todos los viajes generados en una zona, lo que hace que sea más difícil de calibrar.aunque Ruiter (1967) ha desarrollado técnicas para hacer frente a las limitaciones.

Con el desarrollo de logit y otras técnicas de elección discreta, se intentaron nuevos enfoques demográficamente desagregados para la demanda de viajes. Al incluir variables distintas del tiempo de viaje para determinar la probabilidad de realizar un viaje, se espera tener una mejor predicción del comportamiento del viaje. El modelo logity Wilson (1967) ha demostrado que el modelo de gravedad es esencialmente de la misma forma que se utiliza en la mecánica estadística, el modelo de maximización de la entropía. La aplicación de estos modelos difiere en concepto en que el modelo de gravedad usa impedancia por tiempo de viaje, quizás estratificado por variables socioeconómicas, para determinar la probabilidad de realizar un viaje, mientras que un enfoque de elección discreta trae esas variables dentro de la función de utilidad o impedancia. Los modelos de elección discreta requieren más información para estimar y más tiempo de cálculo.

Ben-Akiva y Lerman (1985) han desarrollado una combinación de opciones y modos de destinomodelos de elección que utilizan una formulación logit para viajes laborales y no laborales. Debido a la intensidad computacional, estas formulaciones tendieron a agregar zonas de tráfico en distritos o anillos más grandes en la estimación. En la aplicación actual, algunos modelos, incluido, por ejemplo, el modelo de planificación del transporte utilizado en Portland, Oregón, utilizan una formulación logit para la elección del destino. Allen (1984) utilizó utilidades de un modelo de elección de modo basado en logit para determinar la impedancia compuesta para la distribución del viaje. Sin embargo, ese enfoque, el uso de sumas logarítmicas de elección de modo implica que la elección de destino depende de las mismas variables que la elección de modo. Levinson y Kumar (1995) emplean probabilidades de elección de modo como factor de ponderación y desarrollan una función de impedancia específica o “curva f” para cada modo con fines de viaje de trabajo y no laborales.

Matemáticas

En este punto del proceso de planificación del transporte, la información para el análisis de intercambio zonal se organiza en una tabla de origen-destino. A la izquierda se enumeran los viajes producidos en cada zona. En la parte superior se enumeran las zonas, y para cada zona enumeramos su atracción. La tabla es n x n , donde n = el número de zonas.

Cada celda de nuestra tabla debe contener el número de viajes desde la zona i a la zona j . Todavía no tenemos estos números dentro de la celda, aunque tenemos los totales de fila y columna. Con los datos organizados de esta manera, nuestra tarea es completar las celdas de las tablas tituladas t  = 1 hasta, digamos, t  =  n .

En realidad, a partir de los datos de la encuesta de viajes de la entrevista domiciliaria y del análisis de atracción, tenemos la información de la celda para t  = 1. Los datos son una muestra, por lo que generalizamos la muestra al universo. Las técnicas utilizadas para el análisis de intercambio zonal exploran la regla empírica que se ajusta a los datos t = 1. Luego, esa regla se usa para generar datos de celda para t = 2, t = 3, t = 4, etc., para t = n .

La primera técnica desarrollada para modelar el intercambio zonal involucra un modelo como este:

${\displaystyle T_{ij}=T_{i}{\frac {A_{j}f\left({C_{ij}}\right)K_{ij}}{\sum _{j'=1}^{n}{A_{j'}f\left({C_{ij'}}\right)K_{ij'}}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle T_{ij}}$ : viajes de i a j.
• ${\displaystyle T_{i}}$ : viajes desde i, según nuestro análisis de generación
• ${\displaystyle A_{j}}$ : viajes atraídos por j, según análisis generacional
• ${\displaystyle f(C_{ij})}$ : factor de fricción del costo de viaje , digamos =${\displaystyle C_{ij}^{b}}$
• ${\displaystyle K_{ij}}$ : Parámetro de calibración

La zona i genera viajes T _i ; ¿cuántos irán a la zona j ? Eso depende del atractivo de j en comparación con el atractivo de todos los lugares; el atractivo se ve atenuado por la distancia entre una zona y la zona i . Calculamos la fracción comparando j con todos los lugares y multiplicamos T  _{; yo} por eso. 

La regla suele tener forma de gravedad:

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {P_{i}P_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle P_{i};P_{j}}$ : poblaciones de i y j
• ${\displaystyle a;b}$ : parámetros

Pero en el modo de intercambio zonal, utilizamos números relacionados con los orígenes del viaje ( T  _{; i} ) y los destinos del viaje ( T  _{; j} ) en lugar de las poblaciones.

Hay muchas formas de modelos porque podemos usar pesos y parámetros de calibración especiales, por ejemplo, se podría escribir digamos:

${\displaystyle T_{ij}=a{\frac {T_{i}^{c}T_{j}^{d}}{C_{ij}^{b}}}}$

o

${\displaystyle T_{ij}={\frac {cT_{i}dT_{j}}{C_{ij}^{b}}}}$

dónde:

• a, b, c, d son parámetros
• ${\displaystyle C_{ij}}$ : costo del viaje (por ejemplo, distancia, dinero, tiempo)
• ${\displaystyle T_{j}}$ : viajes entrantes, destinos
• ${\displaystyle T_{i}}$ : viajes de ida, origen

Modelo de gravedad

El modelo de gravedad ilustra las relaciones macroscópicas entre lugares (por ejemplo, hogares y lugares de trabajo). Durante mucho tiempo se ha postulado que la interacción entre dos ubicaciones disminuye con el aumento (distancia, tiempo y costo) entre ellas, pero se asocia positivamente con la cantidad de actividad en cada ubicación (Isard, 1956). En analogía con la física, Reilly (1929) formuló la ley de la gravitación minorista de Reilly , y JQ Stewart (1948) formuló definiciones de gravitación demográfica , fuerza, energía y potencial, ahora llamado accesibilidad (Hansen, 1959). El decaimiento de la distancia El factor de 1 / distancia se ha actualizado a una función más completa de costo generalizado, que no es necesariamente lineal; una exponencial negativa tiende a ser la forma preferida.

El modelo de gravedad se ha corroborado muchas veces como una relación agregada subyacente básica (Scott 1988, Cervero 1989, Levinson y Kumar 1995). La tasa de disminución de la interacción (llamada alternativamente, el factor de impedancia o fricción, o la función de utilidad o propensión) debe medirse empíricamente y varía según el contexto.

Limitar la utilidad del modelo de gravedad es su naturaleza agregada. Aunque la política también opera a nivel agregado, los análisis más precisos conservarán el nivel de información más detallado durante el mayor tiempo posible. Si bien el modelo de gravedad es muy exitoso para explicar la elección de un gran número de individuos, la elección de cualquier individuo varía mucho del valor predicho. Tal como se aplica en un contexto de demanda de viajes urbanos, las desutilidades son principalmente el tiempo, la distancia y el costo, aunque a veces se utilizan modelos de elección discreta con la aplicación de expresiones de utilidad más expansivas, al igual que la estratificación por ingresos o propiedad de vehículos.

Matemáticamente, el modelo de gravedad a menudo toma la forma:

${\displaystyle T_{ij}=K_{i}K_{j}T_{i}T_{j}f(C_{ij})}$

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}},\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

${\displaystyle K_{i}={\frac {1}{\sum _{j}{K_{j}T_{j}f(C_{ij})}}},K_{j}={\frac {1}{\sum _{i}{K_{i}T_{i}f(C_{ij})}}}}$

dónde

• ${\displaystyle T_{ij}}$= Viajes entre origen i y destino j
• ${\displaystyle T_{i}}$= Viajes con origen en i
• ${\displaystyle T_{j}}$= Viajes destinados a j
• ${\displaystyle C_{ij}}$= costo de viaje entre i y j
• ${\displaystyle K_{i},K_{j}}$= factores de equilibrio resueltos iterativamente. Consulte Ajuste proporcional iterativo .
• ${\displaystyle f}$ = factor de disminución de la distancia, como en el modelo de accesibilidad

Está doblemente restringido, en el sentido de que para cualquier i el número total de viajes desde i predicho por el modelo siempre (mecánicamente, para cualquier valor de parámetro) es igual al número total real de viajes desde i . De manera similar, el número total de viajes a j que predice el modelo es igual al número total real de viajes a j , para cualquier j .

Análisis de entropía

Wilson (1970) ofrece otra forma de pensar sobre el problema del intercambio zonal. Esta sección trata la metodología de Wilson para comprender las ideas centrales.

Para empezar, considere algunos viajes en los que hay siete personas en las zonas de origen que se desplazan a siete trabajos en las zonas de destino. Una configuración de tales viajes será:

Tabla: Configuración de viajes

zona	1	2	3
1	2	1	1
2	0	2	1

${\displaystyle w\left({T_{ij}}\right)={\frac {7!}{2!1!1!0!2!1!}}=1260}$

donde 0! = 1.

Esa configuración puede aparecer de 1260 formas. Hemos calculado el número de formas en que podría haber ocurrido la configuración de viajes, y para explicar el cálculo, recordemos esos experimentos de lanzamiento de monedas de los que tanto se habla en estadística elemental.

El número de formas en que puede salir una moneda de dos caras es , donde n es el número de veces que lanzamos la moneda. Si lanzamos la moneda una vez, puede salir cara o cruz . Si lo tiramos dos veces, puede aparecer HH, HT, TH o TT, de cuatro maneras y . Para hacer la pregunta específica sobre, digamos, cuatro monedas saliendo todas caras, calculamos . Serían dos caras y dos cruces . Estamos resolviendo la ecuación:${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle 2^{1}=2}$${\displaystyle 2^{2}=4}$${\displaystyle 4!/(4!0!)=1}$${\displaystyle 4!/(2!2!)=6}$

${\displaystyle w={\frac {n!}{\prod _{i=1}^{n}{n_{i}!}}}}$

Un punto importante es que a medida que n se hace más grande, nuestra distribución alcanza su punto máximo y es cada vez más razonable pensar en un estado más probable.

Sin embargo, la noción de estado más probable no proviene de este pensamiento; proviene de la mecánica estadística, un campo bien conocido por Wilson y no tanto por los planificadores de transporte. El resultado de la mecánica estadística es que lo más probable es una serie descendente. Piense en la forma en que la energía de las luces en el aula está afectando el aire en el aula. Si el efecto resultara en una serie ascendente, muchos de los átomos y moléculas se verían afectados mucho y algunos se verían afectados un poco. La serie descendente habría afectado a muchos nada o poco y solo unos pocos afectados mucho. Podríamos tomar un nivel dado de energía y calcular los niveles de excitación en series ascendentes y descendentes. Usando la fórmula anterior, calcularíamos las formas en que podrían ocurrir series particulares y concluiríamos que dominan las series descendentes.

Esa es más o menos la Ley de Boltzmann ,

${\displaystyle p_{j}=p_{0}e^{\beta e_{j}}}$

Es decir, las partículas en cualquier nivel de excitación particular j serán una función exponencial negativa de las partículas en el estado fundamental , el nivel de excitación , y un parámetro que es una función de la energía (promedio) disponible para las partículas en el sistema.${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle e_{j}}$${\displaystyle \beta }$

Los dos párrafos anteriores tienen que ver con métodos de cálculo conjuntos desarrollados por Gibbs, un tema que está mucho más allá del alcance de estas notas.

Volviendo a la matriz OD, tenga en cuenta que no hemos utilizado tanta información como tendríamos de una encuesta O y D y de nuestro trabajo anterior sobre la generación de viajes. Para el mismo patrón de viaje en la matriz OD utilizada anteriormente, tendríamos totales de fila y columna, es decir:

Tabla: Matriz de DO ilustrativa con totales de filas y columnas

	zona	1	2	3
zona	T i \ T j	2	3	2
1	4	2	1	1
2	3	0	2	1

Considere la forma en que viajarían las cuatro personas, 4! / (2! 1! 1!) = 12; considere tres personas, 3! / (0! 2! 1!) = 3. Todos los viajes se pueden combinar en 12 × 3 = 36 formas. La posible configuración de viajes se ve, por tanto, muy limitada por los totales de columna y fila.

Juntamos este punto con el trabajo anterior con nuestra matriz y la noción de estado más probable para decir que queremos

${\displaystyle \max w\left({T_{ij}}\right)={\frac {T!}{\prod _{ij}{T_{ij}!}}}}$

sujeto a

${\displaystyle \sum _{j}{T_{ij}=T_{i}};\sum _{i}{T_{ij}=T_{j}}}$

dónde:

${\displaystyle T=\sum _{j}{\sum _{i}{T_{ij}}}=\sum _{i}{T_{i}}=\sum _{j}{T_{j}}}$

y este es el problema que hemos resuelto anteriormente.

Wilson agrega otra consideración; restringe el sistema a la cantidad de energía disponible (es decir, dinero), y tenemos la restricción adicional,

${\displaystyle \sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}=C}}}$

donde C es la cantidad de recursos disponibles y es el costo de viaje de i a j .${\displaystyle C_{ij}}$

La discusión hasta ahora contiene las ideas centrales en el trabajo de Wilson, pero aún no hemos llegado al lugar donde el lector reconocerá el modelo tal como lo formuló Wilson.

Primero, escribiendo la función a maximizar usando multiplicadores lagrangianos , tenemos:${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})={\frac {T!}{\prod _{ij}{Tij!}}}+\sum _{i}{\lambda _{i}\left({T_{i}-\sum _{j}{T_{ij}}}\right)}+\sum _{j}{\lambda _{j}\left({T_{j}-\sum _{i}{T_{ij}}}\right)+\beta \left({C-\sum _{i}{\sum _{j}{T_{ij}C_{ij}}}}\right)}}$

donde y son los multiplicadores de Lagrange, que tienen un sentido energético.${\displaystyle \lambda _{i},\lambda _{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

En segundo lugar, es conveniente maximizar el logaritmo natural (ln) en lugar de , porque entonces podemos usar la aproximación de Stirling .${\displaystyle w(T_{ij})}$

${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

asi que

${\displaystyle {\frac {\partial \ln N!}{\partial N}}\approx \ln N}$

En tercer lugar, evaluando el máximo, tenemos

${\displaystyle {\frac {\partial \Lambda (T_{ij},\lambda _{i},\lambda _{j})}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}=0}$

con solución

${\displaystyle \ln T_{ij}=-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}$

${\displaystyle T_{ij}=e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}$

Finalmente, sustituyendo este valor de de nuevo en nuestras ecuaciones de restricción, tenemos:${\displaystyle T_{ij}}$

${\displaystyle \sum _{j}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{i};\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}=T_{j}}$

y, tomando los múltiplos constantes fuera del signo de suma

${\displaystyle e^{-\lambda _{i}}={\frac {T_{i}}{\sum _{j}{e^{-\lambda _{j}-\beta C_{ij}}}}};e^{-\lambda _{j}}={\frac {T_{j}}{\sum _{i}{e^{-\lambda _{i}-\beta C_{ij}}}}}}$

Dejar

${\displaystyle {\frac {e^{-\lambda _{i}}}{T_{i}}}=A_{i};{\frac {e^{-\lambda _{j}}}{T_{j}}}=B_{j}}$

tenemos

${\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}T_{i}T_{j}e^{-\beta C_{ij}}}$

que dice que la distribución más probable de viajes tiene una forma de modelo de gravedad, es proporcional a los orígenes y destinos de los viajes. Las constantes , y garantizan que se cumplan las restricciones.${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$

Pasando ahora a la computación, tenemos un gran problema. Primero, no conocemos el valor de C , que antes dijimos que tenía que ver con el dinero disponible, era una restricción de costos. En consecuencia, tenemos que establecer diferentes valores y luego encontrar el mejor conjunto de valores para y . Sabemos lo que significa: cuanto mayor es el valor de , menor es el costo de la distancia promedio recorrida. (Compárese en la Ley de Boltzmann mencionada anteriormente.) En segundo lugar, los valores de y dependen unos de otros. Entonces, para cada valor de , debemos usar una solución iterativa. Hay programas de computadora para hacer esto.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle B_{j}}$${\displaystyle \beta }$

El método de Wilson se ha aplicado al modelo de Lowry .

Problemas

Congestión

Uno de los principales inconvenientes de la aplicación de muchos de los primeros modelos fue la incapacidad de tener en cuenta el tiempo de viaje congestionado en la red de carreteras al determinar la probabilidad de realizar un viaje entre dos ubicaciones. Aunque Wohl señaló ya en 1963 una investigación sobre el mecanismo de retroalimentación o las "interdependencias entre el volumen asignado o distribuido, el tiempo de viaje (o la 'resistencia' de viaje) y la capacidad de la ruta o del sistema", este trabajo aún no ha sido ampliamente adoptado con pruebas rigurosas de convergencia, o con una solución de "equilibrio" o "combinada" (Boyce et al. 1994). Haney (1972) sugiere que los supuestos internos sobre el tiempo de viaje utilizados para desarrollar la demanda deben ser consistentes con los tiempos de viaje de salida de la ruta asignada a esa demanda. Si bien las pequeñas inconsistencias metodológicas son necesariamente un problema para estimar las condiciones del año base,la previsión se vuelve aún más tenue sin una comprensión de la retroalimentación entre la oferta y la demanda. Los métodos inicialmente heurísticos fueron desarrollados por Irwin y Von Cube^[2] y otros, y posteriormente Suzanne Evans estableció técnicas formales de programación matemática. ^[3]

Estabilidad de los tiempos de viaje

Un punto clave en el análisis de la retroalimentación es el hallazgo en investigaciones anteriores ^{[4] de} que los tiempos de viaje se han mantenido estables durante los últimos treinta años en la Región Metropolitana de Washington, a pesar de los cambios significativos en los ingresos familiares, el patrón de uso de la tierra, la estructura familiar y la participación en la fuerza laboral . Se han encontrado resultados similares en las Ciudades Gemelas ^[5].

La estabilidad de los tiempos de viaje y las curvas de distribución durante las últimas tres décadas ^{[ ¿cuándo? ]} proporciona una buena base para la aplicación de modelos de distribución de viajes agregados para la previsión a relativamente largo plazo. Esto no sugiere que exista un presupuesto de tiempo de viaje constante .

Ver también

• Impacto ambiental de la aviación
• Hipermovilidad (viajes)

Notas al pie

1. Orientación sobre la evaluación del transporte https://assets.publishing.service.gov.uk/government/uploads/system/uploads/attachment_data/file/263054/guidance-transport-assessment.pdf
2. Florian M., Nguyen S. y Ferland J. 1975 sobre la distribución combinada-asignación de tráfico ", Ciencia del transporte, Vol. 9, págs. 43–53, 1975
3. * Evans, Suzanne P. 1976. Derivación y análisis de algunos modelos para combinar distribución y asignación de viajes. Transportation Research, vol. 10, PP 37–57 1976
4. Levinson, D. y A. Kumar 1994 El localizador racional: por qué los tiempos de viaje han permanecido estables, Revista de la Asociación Estadounidense de Planificación, 60: 3 319–332
5. Barnes, G. y Davis, G. 2000. Comprensión de la demanda de viajes urbanos: problemas, soluciones y el papel de la previsión , Centro de estudios de transporte de la Universidad de Minnesota: Estudio de transporte y crecimiento regional

Referencias

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• Ben-Akiva M. y Lerman S. 1985 Análisis de elección discreta, MIT Press, Cambridge MA
• Boyce, D., Lupa, M. y Zhang, YF 1994 Introducción de la "retroalimentación" en el procedimiento de pronóstico de viaje de cuatro pasos frente a la solución de equilibrio de un modelo combinado presentado en la 73ª reunión anual de la Junta de Investigación del Transporte

• Haney, D. 1972 Consistencia en la demanda de transporte y modelos de evaluación, Highway Research Record 392, págs. 13-25 1972
• Hansen, WG 1959. Cómo la accesibilidad da forma al uso de la tierra. Revista del Instituto Americano de Planificadores , 25 (2), 73–76.
• Heanue, Kevin E. y Pyers, Clyde E. 1966. Una evaluación comparativa de los procedimientos de distribución de viajes,

• Levinson, D. y Kumar A. 1995. Un modelo de distribución de viajes multimodal. Registro de investigación de transporte # 1466: 124-131.
• Informe de la MPO de Portland a la Administración Federal de Tránsito sobre modelos de tránsito
• Reilly, WJ (1929) “Métodos para el estudio de las relaciones minoristas” Boletín de la Universidad de Texas No 2944, noviembre de 1929.
• Reilly, WJ, 1931. The Law of Retail Gravitation, Nueva York.
• Ruiter, E. 1967 Mejoras en la comprensión, calibración y aplicación del modelo de oportunidad Registro de investigación de carreteras núm. 165 págs. 1–21
• Stewart, JQ (1948) "Gravitación demográfica: evidencia y aplicación" Sociometry Vol. XI de febrero a mayo de 1948 págs. 31–58.
• Stewart, JQ, 1947. Reglas matemáticas empíricas relativas a la distribución y el equilibrio de la población, Geographical Review, Vol 37, 461-486.
• Stewart, JQ, 1950. Potencial de la población y su relación con el marketing. En: Teoría del marketing, R. Cox y W. Alderson (Eds) (Richard D. Irwin, Inc., Homewood, Illinois).
• Stewart, JQ, 1950. El desarrollo de la física social, American Journal of Physics, Vol 18, 239-253.
• Voorhees, Alan M., 1956, "A General Theory of Traffic Movement", Actas de 1955, Instituto de Ingenieros de Tránsito, New Haven, Connecticut.
• Whitaker, R. y K. West 1968 El modelo de oportunidades que intervienen: una consideración teórica Registro de investigación de carreteras 250 págs. 1-7
• Wilson, AG Una teoría estadística de modelos de distribución espacial Investigación de transporte, Volumen 1, págs. 253–269 1967
• Wohl, M. 1963 Relaciones de demanda, costo, precio y capacidad aplicadas a la previsión de viajes. Registro de investigación de carreteras 38: 40–54
• Zipf, GK , 1946. La hipótesis sobre el movimiento interurbano de personas. American Sociological Review, vol. 11 de octubre
• Zipf, GK, 1949. Comportamiento humano y el principio del mínimo esfuerzo. Massachusetts