Espacio de dos dimensiones (también conocido como espacio 2D , 2-espacio , o espacio bi-dimensional ) es una configuración geométrica en la que dos valores (llamados parámetros son necesarios) para determinar la posición de un elemento (es decir, punto ). El conjunto ℝ 2 de pares de números reales con la estructura apropiada a menudo sirve como ejemplo canónico de un espacio euclidiano bidimensional. Para una generalización del concepto, consulte dimensión .
El espacio bidimensional puede verse como una proyección del universo físico en un plano . Por lo general, se considera un espacio euclidiano y las dos dimensiones se denominan largo y ancho.
Historia
Los libros I al IV y VI de los Elementos de Euclides trataron la geometría bidimensional, desarrollando nociones como similitud de formas, el teorema de Pitágoras (Proposición 47), igualdad de ángulos y áreas , paralelismo, la suma de los ángulos en un triángulo y los tres casos en los que los triángulos son "iguales" (tienen la misma área), entre muchos otros temas.
Posteriormente, el plano se describió en el llamado sistema de coordenadas cartesianas , un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano mediante un par de coordenadas numéricas , que son las distancias firmadas desde el punto a dos líneas directas perpendiculares fijas , medidas en la misma unidad de longitud . Cada línea de referencia se llama eje de coordenadas o simplemente eje del sistema, y el punto donde se encuentran es su origen , generalmente en un par ordenado (0, 0). Las coordenadas también se pueden definir como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.
La idea de este sistema fue desarrollada en 1637 en escritos de Descartes e independientemente por Pierre de Fermat , aunque Fermat también trabajó en tres dimensiones, y no publicó el descubrimiento. [1] Ambos autores utilizaron un solo eje en sus tratamientos y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que La Géométrie de Descartes fuera traducida al latín en 1649 por Frans van Schooten y sus alumnos. Estos comentaristas introdujeron varios conceptos al intentar aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes. [2]
Más tarde, se pensó en el plano como un campo , donde dos puntos cualesquiera podían multiplicarse y, excepto 0, dividirse. Esto se conocía como el plano complejo . El plano complejo a veces se denomina plano de Argand porque se utiliza en los diagramas de Argand. Estos llevan el nombre de Jean-Robert Argand (1768-1822), aunque fueron descritos por primera vez por el agrimensor y matemático danés-noruego Caspar Wessel (1745-1818). [3] Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los polos y ceros de una función en el plano complejo.
En geometría
Sistemas coordinados
En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en el espacio bidimensional por medio de dos coordenadas. Se dan dos ejes de coordenadas perpendiculares que se cruzan en el origen . Por lo general, se denominan x e y . En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio bidimensional está dada por un par ordenado de números reales, cada número indica la distancia de ese punto desde el origen medido a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese eje. punto desde el otro eje.
Otro sistema de coordenadas ampliamente utilizado es el sistema de coordenadas polares , que especifica un punto en términos de su distancia desde el origen y su ángulo con respecto a un rayo de referencia hacia la derecha.
Politopos
En dos dimensiones, hay infinitos politopos: los polígonos. Los primeros regulares se muestran a continuación:
Convexo
El símbolo de Schläfli {p} representa un p -gon regular .
Nombre | Triángulo ( 2-simplex ) | Cuadrado ( 2 ortoplex ) ( 2 cubos ) | Pentágono | Hexágono | Heptágono | Octágono | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} | |
Imagen | |||||||
Nombre | Nonágono | Decágono | Endecágono | Dodecágono | Tridecágono | Tetradecágono | |
Schläfli | {9} | {10} | {11} | {12} | {13} | {14} | |
Imagen | |||||||
Nombre | Pentadecágono | Hexadecágono | Heptadecágono | Octadecágono | Eneadecágono | Icoságono | ... n-gon |
Schläfli | {15} | {dieciséis} | {17} | {18} | {19} | {20} | { n } |
Imagen |
Degenerado (esférico)
El monogon regular (o henagon) {1} y el digon regular {2} pueden considerarse polígonos regulares degenerados y existen de forma no degenerada en espacios no euclidianos como un cilindro de 2 esferas , 2 toros o circular recto .
Nombre | Monogon | Excavar |
---|---|---|
Schläfli | {1} | {2} |
Imagen |
No convexo
Existen infinitos politopos regulares no convexos en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales {n / m}. Se llaman polígonos en estrella y comparten la misma disposición de vértices de los polígonos regulares convexos.
En general, para cualquier número natural n, hay estrellas poligonales regulares no convexas de n puntas con símbolos de Schläfli { n / m } para todo m tal que m < n / 2 (estrictamente hablando { n / m } = { n / ( n - m )}) y m y n son primos entre sí .
Nombre | Pentagrama | Heptagramas | Octagrama | Eneagramas | Decagramo | ... n-gramas | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {2/9} | {9/4} | {10/3} | { n / m } |
Imagen |
Circulo
La hiperesfera en 2 dimensiones es un círculo , a veces llamado 1-esfera ( S 1 ) porque es una variedad unidimensional . En un plano euclidiano, tiene la longitud 2π r y el área de su interior es
dónde es el radio.
Otras formas
Hay una infinidad de otras formas curvas en dos dimensiones, entre las que destacan las cónicas : la elipse , la parábola y la hipérbola .
En álgebra lineal
Otra forma matemática de ver el espacio bidimensional se encuentra en el álgebra lineal , donde la idea de independencia es crucial. El plano tiene dos dimensiones porque la longitud de un rectángulo es independiente de su ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el plano es bidimensional porque cada punto del plano puede describirse mediante una combinación lineal de dos vectores independientes .
Producto escalar, ángulo y longitud
El producto escalar de dos vectores A = [ A 1 , A 2 ] y B = [ B 1 , B 2 ] se define como: [4]
Un vector se puede representar como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección que señala la flecha. La magnitud de un vector A se denota por. En este punto de vista, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B está definido por [5]
donde θ es el ángulo entre A y B .
El producto escalar de un vector A por sí mismo es
lo que da
la fórmula para la longitud euclidiana del vector.
En cálculo
Degradado
En un sistema de coordenadas rectangular, el gradiente viene dado por
Integrales de línea e integrales dobles
Para algún campo escalar f : U ⊆ R 2 → R , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U se define como
donde r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de C y.
Para un campo vectorial F : U ⊆ R 2 → R 2 , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U , en la dirección de r , se define como
donde · es el producto escalar y r : [a, b] → C es un biyectiva parametrización de la curva C de tal manera que r ( una ) y r ( b ) dar a los puntos finales de C .
Una integral doble se refiere a una integral dentro de una región D en R 2 de una función y generalmente se escribe como:
Teorema fundamental de las integrales de línea
El teorema fundamental de las integrales de línea dice que una integral de línea a través de un campo de gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva.
Dejar . Luego
Teorema de green
Deje C ser un positivamente orientada , suave por partes , curva cerrada simple en un plano , y dejar que D sea la región limitada por C . Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene D y tienen derivadas parciales continuas allí, entonces [6] [7]
where the path of integration along C is counterclockwise.
En topología
In topology, the plane is characterized as being the unique contractible 2-manifold.
Its dimension is characterized by the fact that removing a point from the plane leaves a space that is connected, but not simply connected.
En teoría de grafos
In graph theory, a planar graph is a graph that can be embedded in the plane, i.e., it can be drawn on the plane in such a way that its edges intersect only at their endpoints. In other words, it can be drawn in such a way that no edges cross each other.[8] Such a drawing is called a plane graph or planar embedding of the graph. A plane graph can be defined as a planar graph with a mapping from every node to a point on a plane, and from every edge to a plane curve on that plane, such that the extreme points of each curve are the points mapped from its end nodes, and all curves are disjoint except on their extreme points.
Ver también
- Picture function
Referencias
- ^ "Analytic geometry". Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica Online ed.). 2008.
- ^ Burton 2011, p. 374
- ^ Wessel's memoir was presented to the Danish Academy in 1797; Argand's paper was published in 1806. (Whittaker & Watson, 1927, p. 9)
- ^ S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Linear Algebra (Schaum’s Outlines) (4th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ M.R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum’s Outlines) (2nd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
- ^ Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
- ^ Trudeau, Richard J. (1993). Introduction to Graph Theory (Corrected, enlarged republication. ed.). New York: Dover Pub. p. 64. ISBN 978-0-486-67870-2. Retrieved 8 August 2012.
Thus a planar graph, when drawn on a flat surface, either has no edge-crossings or can be redrawn without them.